Diagonalisabilité et composition polynomiale

Soient $E$ un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel de dimension finie, $u$ un endomorphisme de $E$ et $P$ un polynôme de $\mathbb{C}[X]$ . On suppose que l'endomorphisme $P'(u)$ est inversible.

Montrer que $u$ est diagonalisable si, et seulement si, $P(u)$ est diagonalisable.

1.

Pour le sens direct, utiliser la caractérisation de la diagonalisabilité par l'existence d'une base de vecteurs propres.

2.

Pour le sens réciproque, considérer le polynôme minimal $M_{P(u)}$ de l'endomorphisme $P(u)$ et étudier le polynôme composé $R = M_{P(u)} \circ P$ .

3.

Utiliser le fait qu'un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est à racines simples.

4.

Faire le lien entre les racines de $R$ et les valeurs propres de $u$ en examinant la dérivée $R'$ .

Idées clés

•

Lien entre diagonalisabilité et racines simples du polynôme minimal.

•

Stabilité de la diagonalisabilité par application d'un polynôme.

•

Relation entre le spectre d'un endomorphisme et l'inversibilité de ses polynômes.

Sens direct : On suppose $u$ diagonalisable.

Soit $(e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$ constituée de vecteurs propres de $u$ .

Pour chaque $i \in \{1, \dots, n\}$ , il existe $\lambda_i \in \mathbb{C}$ tel que $u(e_i) = \lambda_i e_i$ .

Par propriété des polynômes d'endomorphismes, on a alors :

\forall i \in \{1, \dots, n\},   P(u)(e_i) = P(\lambda_i) e_i

La base $(e_1, \dots, e_n)$ est donc également une base de vecteurs propres pour $P(u)$ .

On en déduit le résultat intermédiaire :

\boxed{u \text{ diagonalisable} \implies P(u) \text{ diagonalisable}}

Remarque : On note que cette implication ne nécessite pas l'inversibilité de $P'(u)$ .

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Sens réciproque : On suppose $P(u)$ diagonalisable et $P'(u) \in \mathrm{GL$ (E) $P^{'} (u) \in GL (E)$ .}

Soit $M_{P(u)}$ le polynôme minimal de l'endomorphisme $P(u)$ .

Puisque $P(u)$ est diagonalisable, $M_{P(u)}$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ . On peut l'écrire sous la forme :

M_{P(u)}(X) = \prod_{j=1}^k (X - \mu_j)

où les

(\mu_j)_{1 \le j \le k}

sont les valeurs propres distinctes de

P(u)

.

Considérons le polynôme $R = M_{P(u)} \circ P$ . Par définition du polynôme minimal, on a :

R(u) = M_{P(u)}(P(u)) = 0

Le polynôme $R$ est donc un polynôme annulateur de $u$ .

Pour montrer que $u$ est diagonalisable, il suffit de prouver que les racines de son polynôme minimal $M_u$ sont simples. Comme $M_u$ divise $R$ , il suffit de montrer que chaque valeur propre de $u$ est une racine simple de $R$ .

Soit $\lambda \in \mathrm{Sp}(u)$ une valeur propre de $u$ . Alors $P(\lambda)$ est une valeur propre de $P(u)$ , donc :

P(\lambda) \in \{\mu_1, \dots, \mu_k\}

Calculons la dérivée de $R$ au point $\lambda$ :

R'(\lambda) = P'(\lambda) \cdot M_{P(u)}'(P(\lambda))

Analysons les deux facteurs de ce produit :

Comme $P'(u)$ est inversible, ses valeurs propres sont non nulles. Or les valeurs propres de $P'(u)$ sont les $P'(\alpha)$ pour $\alpha \in \mathrm{Sp}(u)$ . Ainsi, $P'(\lambda) \neq 0$ .
Comme $P(\lambda)$ est une racine simple de $M_{P(u)}$ , on a $M_{P(u)}'(P(\lambda)) \neq 0$ .

On en déduit que $R'(\lambda) \neq 0$ .

Toute racine de $M_u$ est une racine de $R$ de multiplicité 1. Comme $M_u$ est scindé sur $\mathbb{C}$ , il est à racines simples.

On conclut :

\boxed{u \text{ est diagonalisable}}

L'hypothèse $P'(u)$ inversible est indispensable pour la réciproque. Par exemple, si $P(X) = X^2$ et $u = \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}$ , alors $P(u) = 0$ est diagonalisable, mais $u$ ne l'est pas. Ici $P'(X) = 2X$ et $P'(u) = 2u$ n'est pas inversible.