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Diagonalisabilité et racines du polynôme minimal

polynôme annulateurpolynôme minimaldiagonalisabilitéracines simplesPolynôme minimalRaisonnement par l'absurde

Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. On considère une matrice M∈Mn(R)M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) vérifiant les deux conditions suivantes :

  1. (M3−M2−2M)2=0n(M^{3}-M^{2}-2 M)^{2}=0_{n}
  2. M3−M2−2M≠0nM^{3}-M^{2}-2 M \neq 0_{n}

La matrice MM est-elle diagonalisable ? Justifier avec précision.

1.

Introduire le polynôme P(X)=X3−X2−2XP(X) = X^3 - X^2 - 2X et factoriser PP dans R[X]\mathbb{R}[X].

2.

Utiliser le lien entre la diagonalisabilité d'une matrice et les racines de son polynôme minimal.

3.

Procéder par l'absurde en supposant MM diagonalisable.

Idées clés

•

Caractérisation polynomiale : une matrice est diagonalisable si et seulement si elle admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

•

Relation entre polynôme annulateur et polynôme minimal.

Résolution.

Posons le polynôme P∈R[X]P \in \mathbb{R}[X] défini par :

P(X)=X3−X2−2XP(X) = X^3 - X^2 - 2X

On commence par factoriser PP. On remarque que 00 est racine évidente. On a :

P(X)=X(X2−X−2)P(X) = X(X^2 - X - 2)

Le discriminant du trinôme X2−X−2X^2 - X - 2 est Δ=(−1)2−4(1)(−2)=9=32\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 9 = 3^2. Les racines sont donc 1−32=−1\frac{1-3}{2} = -1 et 1+32=2\frac{1+3}{2} = 2. On obtient la factorisation :

P(X)=X(X+1)(X−2)\boxed{P(X) = X(X+1)(X-2)}

D'après les hypothèses de l'énoncé, nous savons que :

(P(M))2=0netP(M)≠0n(P(M))^2 = 0_n   \text{et}   P(M) \neq 0_n

Notons Q(X)=(P(X))2=X2(X+1)2(X−2)2Q(X) = (P(X))^2 = X^2(X+1)^2(X-2)^2. Le polynôme QQ est un polynôme annulateur de MM.

Raisonnons par l'absurde en supposant que la matrice MM est diagonalisable.

Si MM est diagonalisable, alors son polynôme minimal, noté μM\mu_M, est scindé sur R\mathbb{R} et ne possède que des racines simples. Comme QQ est un polynôme annulateur de MM, on sait que μM\mu_M divise QQ. Ainsi :

μM(X)∣X2(X+1)2(X−2)2\mu_M(X) \mid X^2(X+1)^2(X-2)^2

Les racines de μM\mu_M sont nécessairement incluses dans l'ensemble des racines de QQ, à savoir {0,−1,2}\{0, -1, 2\}. Puisque nous avons supposé que MM est diagonalisable, les racines de μM\mu_M doivent être simples. Par conséquent, le polynôme minimal μM\mu_M doit diviser le produit des facteurs de premier degré associés à ces racines :

μM(X)∣X(X+1)(X−2)\mu_M(X) \mid X(X+1)(X-2)

Or, nous avons identifié que P(X)=X(X+1)(X−2)P(X) = X(X+1)(X-2). L'assertion précédente implique donc que :

μM(X)∣P(X)\mu_M(X) \mid P(X)

Par définition du polynôme minimal, puisque μM\mu_M divise PP, alors PP est un polynôme annulateur de la matrice MM. On en déduit :

P(M)=0n\boxed{P(M) = 0_n}

Ceci contredit directement la seconde hypothèse de l'énoncé qui stipule que M3−M2−2M≠0nM^3 - M^2 - 2M \neq 0_n.

L'hypothèse de départ est donc fausse.

La matrice M n’est pas diagonalisable.\boxed{\text{La matrice } M \text{ n'est pas diagonalisable.}}

L'erreur classique consiste à penser que si Q(M)=0Q(M)=0, alors MM est forcément non diagonalisable dès que QQ a des racines multiples. C'est faux : une matrice peut être diagonalisable même si on lui trouve un polynôme annulateur à racines multiples (par exemple InI_n est annulée par (X−1)2(X-1)^2). C'est la donnée P(M)≠0P(M) \neq 0 qui force ici la non-diagonalisabilité en empêchant le polynôme minimal d'avoir des racines simples.