Diagonalisabilité de A et de A - A⁻¹

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Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ .

Démontrer que la matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ si, et seulement si, la matrice $A - A^{-1}$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ .

1.

Pour le sens direct, utiliser la définition de la diagonalisabilité par la similitude à une matrice diagonale.

2.

Pour le sens réciproque, utiliser le critère de diagonalisabilité portant sur l'existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples.

3.

Étudier la fonction $f : x \mapsto x - \frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$ pour analyser les racines du polynôme construit.

Idées clés

•

Lien entre diagonalisabilité de $u$ et de $P(u)$ .

•

Critère polynomial : une matrice est diagonalisable sur $\mathbb{K}$ si et seulement s'il existe un polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ scindé à racines simples sur $\mathbb{K}$ tel que $P(A) = 0$ .

•

Analyse de l'équation du second degré $x^2 - \mu x - 1 = 0$ .

Sens direct ( $\implies$ ).

Supposons que $A$ soit diagonalisable sur $\mathbb{R}$ .

Il existe donc $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ et $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que :

A = PDP^{-1}

Comme $A$ est inversible, ses valeurs propres sont toutes non nulles. On a alors :

A^{-1} = (PDP^{-1})^{-1} = PD^{-1}P^{-1}

On en déduit l'expression de la différence :

A - A^{-1} = P(D - D^{-1})P^{-1}

La matrice $D - D^{-1}$ est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont $\lambda_i - \frac{1}{\lambda_i}$ .

\boxed{ A - A^{-1} \text{ est donc semblable à une matrice diagonale réelle, elle est diagonalisable.} }

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Sens réciproque ( $\impliedby$ ).

Supposons que $B = A - A^{-1}$ soit diagonalisable sur $\mathbb{R}$ .

Il existe donc un polynôme $Q \in \mathbb{R}[X]$ scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ qui annule $B$ . Notons $\mu_1, \dots, \mu_k$ les racines distinctes de $Q$ . On a :

Q(X) = \prod_{i=1}^k (X - \mu_i)   \text{et}   Q(B) = 0

En remplaçant $B$ par son expression en fonction de $A$ , on obtient :

\prod_{i=1}^k (A - A^{-1} - \mu_i I) = 0

Multiplions cette égalité par $A^k$ (qui commute avec tous les facteurs). Comme $A$ est inversible, cela ne change pas le caractère nul de l'expression :

A^k \prod_{i=1}^k (A - A^{-1} - \mu_i I) = \prod_{i=1}^k (A^2 - \mu_i A - I) = 0

Posons le polynôme $P(X) = \prod_{i=1}^k (X^2 - \mu_i X - 1)$ . Par construction, $P(A) = 0$ .

Étudions les racines de $P$ . Pour chaque $i \in \{1, \dots, k\}$ , les racines de $X^2 - \mu_i X - 1$ sont données par le discriminant :

\Delta_i = \mu_i^2 + 4

Puisque $\mu_i \in \mathbb{R}$ , on a $\Delta_i > 0$ . Chaque trinôme possède donc deux racines réelles distinctes :

x_{i,1} = \frac{\mu_i - \sqrt{\mu_i^2+4}}{2}   \text{et}   x_{i,2} = \frac{\mu_i + \sqrt{\mu_i^2+4}}{2}

Vérifions que toutes ces racines sont distinctes. Soit $f(x) = x - \frac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$ . On remarque que $x$ est racine de $P$ si et seulement si $f(x) = \mu_i$ pour un certain $i$ . La dérivée $f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2}$ est strictement positive sur $]-\infty, 0[$ et sur $]0, +\infty[$ .

1. Si $i \neq j$ , alors $\mu_i \neq \mu_j$ . L'injectivité de $f$ sur chaque intervalle assure que les racines sont distinctes deux à deux au sein d'un même intervalle.

2. De plus, pour tout $i$ , le produit des racines $x_{i,1}x_{i,2} = -1$ . Ainsi, l'une est strictement négative ( $x_{i,1}$ ) et l'autre est strictement positive ( $x_{i,2}$ ).

Si $i \neq j$ , alors $x_{i,1} \neq x_{j,1}$ (car $f(x_{i,1}) = \mu_i \neq \mu_j = f(x_{j,1})$ ) et de même pour les racines positives. Comme une racine négative ne peut être égale à une racine positive, les $2k$ racines sont bien distinctes.

\boxed{ P \text{ est un polynôme annulateur de } A, \text{ scindé à racines simples sur } \mathbb{R}. }

En conclusion, $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ .

L'erreur classique est d'oublier de vérifier que les racines du polynôme construit sont bien réelles et distinctes. Le fait que $\Delta_i = \mu_i^2 + 4 > 0$ est l'argument clé pour la réalité des racines.