Matrices réelles annulant $X^2+X+1$

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice satisfaisant la relation :

A^2 + A + I_n = 0

Étudier la diagonalisabilité de la matrice $A$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , puis dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .
En déduire les valeurs possibles pour l'entier $n$ .
Déterminer explicitement la trace et le déterminant de la matrice $A$ en fonction de $n$ .

1.

Utiliser le polynôme $P(X) = X^2 + X + 1$ comme polynôme annulateur.

2.

Rechercher les racines de ce polynôme dans $\mathbb{C}$ et vérifier si elles sont réelles.

3.

Utiliser le fait que pour une matrice réelle, les valeurs propres non réelles apparaissent par paires conjuguées avec la même multiplicité.

4.

Exprimer la trace comme la somme des valeurs propres et le déterminant comme leur produit.

Idées clés

•

Lien entre racines d'un polynôme annulateur et spectre.

•

Critère de diagonalisabilité par les polynômes annulateurs (polynôme scindé à racines simples).

•

Propriété de conjugaison des valeurs propres pour les matrices réelles.

Résolution.

Étude de la diagonalisabilité. Considérons le polynôme $P(X) = X^2 + X + 1$ . Par hypothèse, $P$ est un polynôme annulateur de $A$ . Calculons les racines de $P$ . Le discriminant est $\Delta = 1^2 - 4 = -3$ . Les racines de $P$ dans $\mathbb{C}$ sont : $j = e^{i\frac{2\pi}{3}} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \text{et} \bar{j} = e^{-i\frac{2\pi}{3}} = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ $\bullet$ Sur le corps $\mathbb{C$ $C$ :} Le polynôme $P$ est scindé sur $\mathbb{C}$ et possède deux racines complexes distinctes ( $j$ et $\bar{j}$ ). Puisque $A$ admet un polynôme annulateur scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ , on en déduit : $\boxed{\text{A est diagonalizable dans } \mathcal{M}_n(\mathbb{C})}$ $\bullet$ Sur le corps $\mathbb{R$ $R$ :} Les racines de $P$ ne sont pas réelles. Ainsi, le spectre de $A$ dans $\mathbb{R}$ est vide : $\text{Sp}_{\mathbb{R}}(A) = \emptyset$ . Pour $n \geq 1$ , une matrice diagonalisable sur $\mathbb{R}$ doit posséder toutes ses valeurs propres dans $\mathbb{R}$ . Par conséquent : $\boxed{\text{A n'est pas diagonalizable dans } \mathcal{M}_n(\mathbb{R})}$
Condition sur l'entier $n$ . Puisque $A$ est une matrice réelle, son polynôme caractéristique $\chi_A$ est à coefficients réels. Si $\lambda \in \mathbb{C}$ est une valeur propre de $A$ de multiplicité $m$ , alors $\bar{\lambda}$ est aussi valeur propre de $A$ avec la même multiplicité $m$ . Ici, les seules valeurs propres possibles dans $\mathbb{C}$ sont $j$ et $\bar{j}$ (racines du polynôme annulateur). Notons $m_1$ la multiplicité de $j$ et $m_2$ celle de $\bar{j}$ . D'après la remarque précédente : $m_1 = m_2 = k \text{où } k \in \mathbb{N}$ La somme des multiplicités étant égale à la dimension de l'espace, on a $n = m_1 + m_2 = 2k$ . L'entier $n$ est donc nécessairement pair. $\boxed{n \in 2\mathbb{N}^*}$
Calcul de la trace et du déterminant. La trace est la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité. \begin{align*} \text{Tr}(A) &= k \cdot j + k \cdot \bar{j}
\text{Tr}(A) &= k (j + \bar{j}) \end{align*} Or, d'après les relations entre racines et coefficients pour $X^2 + X + 1$ , on sait que $j + \bar{j} = -1$ . Comme $k = n/2$ , on obtient : $\boxed{\text{Tr}(A) = -\frac{n}{2}}$ Le déterminant est le produit des valeurs propres comptées avec multiplicité. \begin{align*} \text{det}(A) &= j^k \cdot \bar{j}^k
\text{det}(A) &= (j\bar{j})^k \end{align*} Or, $j\bar{j} = |j|^2 = 1$ . Ainsi : $\boxed{\text{det}(A) = 1}$

Attention à ne pas oublier que si $A$ est une matrice réelle, son spectre complexe est stable par conjugaison. C'est l'argument clé pour affirmer que $j$ et $\bar{j}$ ont la même multiplicité et que $n$ est pair.