Puissance de l'identité et spectre réel

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . On suppose que l'ensemble des valeurs propres de $A$ est inclus dans $\mathbb{R}$ . On suppose par ailleurs qu'il existe un entier $p \geqslant 1$ tel que :

A^p = I_n

Démontrer que l'on a nécessairement $A^2 = I_n$ .

1.

Utiliser l'existence d'un polynôme annulateur simple pour justifier la diagonalisabilité de $A$ sur $\mathbb{C}$ .

2.

Déterminer les valeurs propres possibles de $A$ en cherchant les racines réelles de ce polynôme annulateur.

3.

Conclure sur la forme de la matrice diagonale associée.

Idées clés

•

Lien entre polynôme annulateur à racines simples et diagonalisabilité.

•

Étude des racines réelles du polynôme $X^p - 1$ .

•

Propriété des matrices diagonalisables dont le spectre est réduit à $\{-1, 1\}$ .

Résolution.

Considérons le polynôme $P(X) = X^p - 1$ . Par hypothèse, on a $P(A) = 0_n$ . Le polynôme $P$ est un polynôme annulateur de $A$ .

Les racines de $P$ dans $\mathbb{C}$ sont les racines $p$ -ièmes de l'unité :

\text{Roots}(P) = \left\{ e^{i\frac{2k\pi}{p}} \mid k \in \llbracket 0, p-1 \rrbracket \right\}

Ces racines sont deux à deux distinctes, donc le polynôme $P$ est à racines simples dans $\mathbb{C}[X]$ .

D'après le critère de diagonalisabilité, la matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . Il existe donc une matrice $P \in GL_n(\mathbb{C})$ et une matrice diagonale $D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telles que :

A = PDP^{-1}

Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ . On sait que toute valeur propre d'une matrice est racine de tout polynôme annulateur de cette matrice. Par conséquent, $\lambda^p = 1$ .

De plus, l'énoncé précise que le spectre de $A$ est inclus dans $\mathbb{R}$ . On cherche donc les racines réelles de $X^p - 1$ . Deux cas se présentent selon la parité de $p$ :

Si $p$ est impair, la seule racine réelle est $1$ .
Si $p$ est pair, les seules racines réelles sont $1$ et $-1$ .

Dans tous les cas, les valeurs propres réelles possibles de $A$ appartiennent à l'ensemble $\{-1, 1\}$ . On en déduit que :

\text{sp}(A) \subset \{-1, 1\}

La matrice diagonale $D$ a ses coefficients diagonaux dans $\text{sp}(A)$ . Puisque chaque coefficient diagonal $d_{i,i}$ vérifie $d_{i,i} \in \{-1, 1\}$ , on a pour tout $i$ :

d_{i,i}^2 = 1

On en conclut que :

D^2 = I_n

En revenant à la matrice $A$ par similitude : \begin{align*} A^2 &= (PDP^{-1})^2
&= PD^2P^{-1}
&= PI_nP^{-1} \end{align*}

On obtient finalement le résultat souhaité :

\boxed{A^2 = I_n}

Une erreur classique est de vouloir conclure immédiatement sans invoquer la diagonalisabilité. Une matrice peut avoir un spectre réduit à $\{1\}$ sans être l'identité (par exemple une matrice nilpotente plus l'identité). Ici, c'est bien le caractère diagonalisable (issu du polynôme annulateur) qui permet de passer du spectre à la valeur de la matrice.