Diagonalisation de matrices par blocs

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ . On s'intéresse à la diagonalisabilité dans $\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ des deux matrices définies par blocs suivantes :

M_{1}=\begin{pmatrix} A & A A & -3 A \end{pmatrix}   \text{et}   M_{2}=\begin{pmatrix} A & A -A & 3 A \end{pmatrix}

Déterminer, pour chacune de ces deux matrices, une condition nécessaire et suffisante portant sur $A$ pour qu'elle soit diagonalisable.

1.

Remarquer que les matrices proposées peuvent s'écrire sous la forme d'un produit de blocs impliquant une matrice $B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et la matrice $A$ .

2.

Pour $M_1$ , étudier la réduction de la matrice $B_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -3 \end{pmatrix}$ . Utiliser un changement de base par blocs pour se ramener à une matrice diagonale par blocs.

3.

Pour $M_2$ , étudier la réduction de $B_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 -1 & 3 \end{pmatrix}$ . Si $B_2$ n'est pas diagonalisable, utiliser sa forme réduite pour simplifier la structure de $M_2$ .

4.

Utiliser le fait qu'une matrice de la forme $\begin{pmatrix} C & D 0 & C \end{pmatrix}$ est diagonalisable si et seulement si $D=0$ et $C$ est diagonalisable.

Idées clés

•

Réduction d'une matrice définie par blocs "homogènes".

•

Utilisation du produit de Kronecker (implicitement) via des matrices de passage de la forme $P \otimes I_n$ .

•

Propriété : une matrice bloc-triangulaire avec des blocs diagonaux identiques n'est diagonalisable que si le bloc supérieur est nul (sous condition de diagonalisabilité du bloc diagonal).

1. Étude de la matrice $M_1$ .

On remarque que $M_1$ peut s'écrire comme une matrice par blocs associée à $B_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 1 & -3 \end{pmatrix}$ .

Calculons le polynôme caractéristique de $B_1$ :

\chi_{B_1}(X) = \det(XI_2 - B_1) = \begin{vmatrix} X-1 & -1 -1 & X+3 \end{vmatrix} = (X-1)(X+3) - 1 = X^2 + 2X - 4

Le discriminant de ce trinôme est $\Delta = 4 - 4(1)(-4) = 20 > 0$ .

$B_1$ possède donc deux valeurs propres réelles distinctes :

\lambda_1 = -1 - \sqrt{5}   \text{et}   \lambda_2 = -1 + \sqrt{5}

Par conséquent, $B_1$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ .

Il existe $P = (p_{i,j}) \in GL_2(\mathbb{R})$ telle que $P^{-1} B_1 P = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2)$ .

Considérons alors la matrice de passage par blocs $\mathcal{P} = \begin{pmatrix} p_{1,1} I_n & p_{1,2} I_n p_{2,1} I_n & p_{2,2} I_n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ .

Cette matrice est inversible (son inverse est la matrice bloc associée à $P^{-1}$ ). Par un calcul de produit par blocs, on vérifie que :

\mathcal{P}^{-1} M_1 \mathcal{P} = \begin{pmatrix} \lambda_1 A & 0 0 & \lambda_2 A \end{pmatrix}

La matrice $M_1$ est diagonalisable si et seulement si $\begin{pmatrix} \lambda_1 A & 0 0 & \lambda_2 A \end{pmatrix}$ l'est.

Une telle matrice diagonale par blocs est diagonalisable si et seulement si chaque bloc diagonal $\lambda_1 A$ et $\lambda_2 A$ est diagonalisable.

Comme $\lambda_1 \neq 0$ et $\lambda_2 \neq 0$ , la diagonalisabilité de $\lambda_i A$ équivaut à celle de $A$ .

\boxed{M_1 \text{ est diagonalisable} \iff A \text{ est diagonalisable}}

2. Étude de la matrice $M_2$ .

On pose $B_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 -1 & 3 \end{pmatrix}$ . Calculons son polynôme caractéristique :

\chi_{B_2}(X) = \begin{vmatrix} X-1 & -1 1 & X-3 \end{vmatrix} = (X-1)(X-3) + 1 = X^2 - 4X + 4 = (X-2)^2

La seule valeur propre de $B_2$ est $2$ .

Si $B_2$ était diagonalisable, on aurait $B_2 = 2I_2$ , ce qui est faux. $B_2$ n'est donc pas diagonalisable.

Cependant, $B_2$ est semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix} 2 & 1 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Il existe $Q \in GL_2(\mathbb{R})$ telle que $Q^{-1} B_2 Q = \begin{pmatrix} 2 & 1 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

En utilisant la même construction de matrice $\mathcal{Q} \in GL_{2n}(\mathbb{R})$ par blocs que précédemment, on obtient :

\mathcal{Q}^{-1} M_2 \mathcal{Q} = \begin{pmatrix} 2A & A 0 & 2A \end{pmatrix}

Notons $N = \begin{pmatrix} 2A & A 0 & 2A \end{pmatrix}$ .

Si $M_2$ est diagonalisable, alors $N$ l'est aussi. Il existe donc un polynôme scindé à racines simples $R$ tel que $R(N) = 0$ .

Or, par un calcul par blocs immédiat :

R(N) = \begin{pmatrix} R(2A) & A R'(2A) 0 & R(2A) \end{pmatrix}

Pour que $R(N) = 0$ , il faut que $R(2A) = 0$ . Cela implique que $2A$ (et donc $A$ ) est diagonalisable.

Si $A$ est diagonalisable, soit $A = S \Delta S^{-1}$ avec $\Delta = \text{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)$ .

La matrice $N$ est alors semblable à une matrice composée de $n$ blocs de taille $2 \times 2$ sur la diagonale de la forme :

N_i = \begin{pmatrix} 2\mu_i & \mu_i 0 & 2\mu_i \end{pmatrix}

La matrice $N$ est diagonalisable si et seulement si chaque bloc $N_i$ est diagonalisable.

Pour un bloc $N_i$ , la seule valeur propre est $2\mu_i$ .

$N_i$ est diagonalisable si et seulement si $N_i = 2\mu_i I_2$ , ce qui impose $\mu_i = 0$ .

Ceci doit être vrai pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ , donc tous les $\mu_i$ sont nuls, ce qui signifie que $A = 0$ .

Réciproquement, si $A=0$ , alors $M_2=0$ , qui est trivialement diagonalisable.

\boxed{M_2 \text{ est diagonalisable} \iff A = 0}

Pour $M_2$ , on pourrait être tenté de dire que si $A$ est diagonalisable, alors $M_2$ l'est. C'est faux car la matrice structurelle $B_2$ n'est pas diagonalisable. L'existence d'un bloc "non-diagonal" $A$ au-dessus des blocs $2A$ empêche la diagonalisation sauf si ce bloc s'annule.