Endomorphisme permutant une famille génératrice

Soit $E$ un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel de dimension finie. On considère une famille finie de vecteurs $\mathcal{S} = \{x_1, \dots, x_m\}$ qui engendre $E$ .

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ tel que l'image de la famille $\mathcal{S}$ par $u$ soit exactement $\mathcal{S}$ , c'est-à-dire $u(\mathcal{S}) = \mathcal{S}$ .

Démontrer que l'endomorphisme $u$ est diagonalisable.

1.

Étudier la restriction de l'application $u$ à l'ensemble fini $\mathcal{S}$ pour en déduire une relation sur les puissances de $u$ .

2.

Utiliser le fait que $\mathcal{S}$ est une famille génératrice pour étendre cette relation à l'espace $E$ tout entier.

3.

Conclure à l'aide d'un polynôme annulateur scindé à racines simples.

Idées clés

•

Lien entre permutation d'un ensemble fini et endomorphisme induit.

•

Caractérisation de la diagonalisabilité par l'existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples.

•

Extension d'une propriété d'une famille génératrice à l'espace entier par linéarité.

1. Étude de l'action de $u$ sur l'ensemble fini $\mathcal{S$ $S$ .}

Par hypothèse, $u$ induit une application de $\mathcal{S}$ dans lui-même.

Puisque $u(\mathcal{S}) = \mathcal{S}$ et que $\mathcal{S}$ est un ensemble fini, cette application est une surjection d'un ensemble fini vers lui-même, donc c'est une bijection.

Ainsi, l'action de $u$ sur $\mathcal{S}$ définit une permutation de ses éléments. Notons $\sigma$ la permutation de l'ensemble des indices $\{1, \dots, m\}$ telle que :

\forall i \in \{1, \dots, m\},   u(x_i) = x_{\sigma(i)}

2. Recherche d'un polynôme annulateur.

Considérons le groupe symétrique $\mathfrak{S}_m$ des permutations de $\{1, \dots, m\}$ . Ce groupe est fini et possède $m!$ éléments.

D'après le théorème de Lagrange (ou par l'existence d'un ordre pour tout élément d'un groupe fini), il existe un entier $k \in \mathbb{N}^*$ tel que $\sigma^k = \text{id}_{\{1, \dots, m\}}$ .

On en déduit que pour tout vecteur $x_i$ de la famille $\mathcal{S}$ :

u^k(x_i) = x_{\sigma^k(i)} = x_i

Soit maintenant un vecteur quelconque $v \in E$ . Puisque $\mathcal{S}$ est une famille génératrice de $E$ , il existe des scalaires $\lambda_1, \dots, \lambda_m \in \mathbb{C}$ tels que :

v = \sum_{i=1}^m \lambda_i x_i

Par linéarité de $u^k$ , on obtient :

u^k(v) = u^k\left( \sum_{i=1}^m \lambda_i x_i \right) = \sum_{i=1}^m \lambda_i u^k(x_i) = \sum_{i=1}^m \lambda_i x_i = v

Comme cette égalité est vraie pour tout $v \in E$ , nous avons établi que :

\boxed{u^k = \text{Id}_E}

3. Conclusion sur la diagonalisabilité.

L'endomorphisme $u$ est donc annulé par le polynôme :

P(X) = X^k - 1

Sur le corps des complexes $\mathbb{C}$ , ce polynôme se décompose de la manière suivante :

P(X) = \prod_{j=0}^{k-1} \left( X - e^{\frac{2ij\pi}{k}} \right)

On observe que $P$ est scindé sur $\mathbb{C}$ et que ses racines sont les racines $k$ -ièmes de l'unité. Ces racines sont toutes distinctes deux à deux.

\boxed{\text{Le polynôme } P \text{ est scindé à racines simples sur } \mathbb{C}}

D'après le critère de diagonalisation par les polynômes annulateurs, l'existence d'un tel polynôme implique que :

\boxed{u \text{ est diagonalisable}}

Attention à ne pas oublier de mentionner que $\mathcal{S}$ est génératrice. Si $\mathcal{S}$ n'engendrait qu'un sous-espace stable $F$ , on pourrait seulement conclure que la restriction de $u$ à $F$ est diagonalisable.