Diagonalisabilité d'une matrice triangulaire par blocs

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $p, q$ deux entiers naturels non nuls tels que $n = p+q$ . On considère deux scalaires distincts $\lambda$ et $\mu$ de $\mathbb{K}$ ( $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ une matrice triangulaire supérieure de la forme :

M = \begin{pmatrix} A & B 0 & C \end{pmatrix}

où

A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})

est une matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à

\lambda

,

C \in \mathcal{M}_q(\mathbb{K})

est une matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à

\mu

, et

B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})

est une matrice quelconque.

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les blocs $A, B$ et $C$ pour que la matrice $M$ soit diagonalisable.

1.

Rappeler le critère de diagonalisabilité portant sur le polynôme minimal : une matrice est diagonalisable si et seulement si elle admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

2.

Calculer le polynôme caractéristique de $M$ pour identifier ses valeurs propres et leurs multiplicités.

3.

Utiliser un calcul par blocs pour évaluer le produit $(M - \lambda I_n)(M - \mu I_n)$ .

Idées clés

•

Utilisation du polynôme minimal : $M$ est diagonalisable si et seulement si $(X-\lambda)(X-\mu)$ est un polynôme annulateur.

•

Calcul matriciel par blocs.

•

Invertibilité des matrices triangulaires dont la diagonale ne contient pas de zéro.

Résolution.

La matrice $M$ est triangulaire supérieure. Ses coefficients diagonaux sont les $p$ occurrences de $\lambda$ suivies des $q$ occurrences de $\mu$ .

Le polynôme caractéristique de $M$ est donc :

\chi_M(X) = (X-\lambda)^p (X-\mu)^q

Puisque $\lambda \neq \mu$ , le spectre de $M$ est exactement $Sp(M) = \{\lambda, \mu\}$ .

D'après le cours, une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples sur $\mathbb{K}$ .

Ici, cela revient à dire que $M$ est diagonalisable si et seulement si le polynôme $P(X) = (X-\lambda)(X-\mu)$ annule $M$ .

Calculons le produit de blocs $(M - \lambda I_n)(M - \mu I_n)$ . On a :

M - \lambda I_n = \begin{pmatrix} A - \lambda I_p & B 0 & C - \lambda I_q \end{pmatrix}   \text{et}   M - \mu I_n = \begin{pmatrix} A - \mu I_p & B 0 & C - \mu I_q \end{pmatrix}

Le produit par blocs donne :

(M - \lambda I_n)(M - \mu I_n) = \begin{pmatrix} (A - \lambda I_p)(A - \mu I_p) & (A - \lambda I_p)B + B(C - \mu I_q) 0 & (C - \lambda I_q)(C - \mu I_q) \end{pmatrix}

La condition de diagonalisabilité est donc équivalente au système suivant :

\left\{ \begin{aligned} (A - \lambda I_p)(A - \mu I_p) &= 0 (C - \lambda I_q)(C - \mu I_q) &= 0 (A - \lambda I_p)B + B(C - \mu I_q) &= 0 \end{aligned} \right.

Étudions la première équation : $(A - \lambda I_p)(A - \mu I_p) = 0$ . La matrice $A$ est triangulaire supérieure avec des $\lambda$ sur la diagonale. Ainsi, $A - \mu I_p$ est une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients diagonaux valent $\lambda - \mu$ .

Comme $\lambda \neq \mu$ , ces coefficients diagonaux sont non nuls, donc la matrice $A - \mu I_p$ est inversible.

En multipliant l'équation $(A - \lambda I_p)(A - \mu I_p) = 0$ à droite par $(A - \mu I_p)^{-1}$ , on obtient :

\boxed{A = \lambda I_p}

De même, pour la deuxième équation, $C - \lambda I_q$ est inversible car sa diagonale est constituée de $\mu - \lambda \neq 0$ . En multipliant $(C - \lambda I_q)(C - \mu I_q) = 0$ à gauche par $(C - \lambda I_q)^{-1}$ , on obtient :

\boxed{C = \mu I_q}

Enfin, injectons ces résultats dans la troisième équation :

(\lambda I_p - \lambda I_p)B + B(\mu I_q - \mu I_q) = 0 \cdot B + B \cdot 0 = 0

Cette équation est donc toujours vérifiée dès que $A = \lambda I_p$ et $C = \mu I_q$ , quelle que soit la matrice $B$ .

Conclusion : La matrice $M$ est diagonalisable si et seulement si ses deux blocs diagonaux sont des matrices scalaires.

Autrement dit, si l'on note $M = (m_{i,j})_{1 \le i,j \le n}$ , la condition est :

\boxed{\forall (i,j) \in \{1,\dots,p\}^2, \ i < j \implies m_{i,j} = 0   \text{et}   \forall (i,j) \in \{p+1,\dots,n\}^2, \ i < j \implies m_{i,j} = 0}

Une erreur classique consiste à penser que le bloc $B$ doit également être nul pour que la matrice soit diagonalisable. L'exercice montre que $B$ n'influe pas sur la diagonalisabilité ici, car les deux valeurs propres sont distinctes. Le couplage entre les sous-espaces propres n'empêche pas la diagonalisation tant que les blocs associés à chaque valeur propre sont déjà diagonaux.