Spectre et diagonalisabilité d'une matrice perturbée

Soient $a_{1}, \ldots, a_{n}$ et $b_{1}, \ldots, b_{n}$ deux suites de réels. On suppose que pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ , on a $a_{i} > 0$ , et que la suite $(b_i)$ est strictement croissante : $b_{1} < b_{2} < \cdots < b_{n}$ .

On considère la matrice $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ définie par :

M = \begin{pmatrix} a_{1}+b_{1} & a_{1} & a_{1} & \cdots & a_{1} a_{2} & a_{2}+b_{2} & a_{2} & \cdots & a_{2} \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \vdots & \vdots & & \ddots & a_{n-1} a_{n} & a_{n} & \cdots & a_{n} & a_{n}+b_{n} \end{pmatrix}

Déterminer le polynôme caractéristique de $M$ , noté $\chi_M(x) = \det(xI_n - M)$ .
En déduire que la matrice $M$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ .

1.

On pourra remarquer que $M = D + A$ , où $D = \text{diag}(b_1, \dots, b_n)$ et $A$ est une matrice de rang 1 dont on précisera les vecteurs colonnes et lignes.

2.

Pour le calcul du déterminant $\det(xI_n - D - A)$ , on pourra factoriser par $(x-b_i)$ ou utiliser une opération sur les colonnes pour faire apparaître des zéros.

3.

Pour l'étude des racines, on pourra introduire la fonction rationnelle $f(x) = 1 - \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{x-b_i}$ et étudier ses variations sur les intervalles délimités par les $(b_i)$ .

Idées clés

•

Décomposition en matrice diagonale + matrice de rang 1.

•

Utilisation de la linéarité du déterminant ou d'un calcul de type "déterminant d'une perturbation de rang 1".

•

Théorème des valeurs intermédiaires pour localiser les racines du polynôme caractéristique.

1. Calcul du polynôme caractéristique.

Notons $P(x) = \chi_M(x) = \det(xI_n - M)$ . On peut écrire :

xI_n - M = \begin{pmatrix} x-b_1-a_1 & -a_1 & \cdots & -a_1 -a_2 & x-b_2-a_2 & \cdots & -a_2 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots -a_n & -a_n & \cdots & x-b_n-a_n \end{pmatrix}

Pour $x \notin \{b_1, \dots, b_n\}$ , on peut factoriser chaque ligne $i$ par $a_i$ (qui est non nul par hypothèse) :

P(x) = \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) \det \begin{pmatrix} \frac{x-b_1}{a_1}-1 & -1 & \cdots & -1 -1 & \frac{x-b_2}{a_2}-1 & \cdots & -1 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots -1 & -1 & \cdots & \frac{x-b_n}{a_n}-1 \end{pmatrix}

Posons $y_i = \frac{x-b_i}{a_i}$ . La matrice dont on cherche le déterminant est $B = \text{diag}(y_1, \dots, y_n) - J$ , où $J$ est la matrice ne contenant que des $1$ . Par une opération classique sur ce type de matrice (ou en utilisant la formule $\det(D + UV^T)$ ), on trouve :

\det(B) = \left( \prod_{i=1}^n y_i \right) \left( 1 - \sum_{i=1}^n \frac{1}{y_i} \right)

En remplaçant $y_i$ par sa valeur :

P(x) = \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) \left( \prod_{i=1}^n \frac{x-b_i}{a_i} \right) \left( 1 - \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{x-b_i} \right)

Après simplification des produits par $a_i$ , nous obtenons l'expression finale :

\boxed{ \chi_M(x) = \left( \prod_{j=1}^n (x-b_j) \right) \left( 1 - \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{x-b_i} \right) }

Cette formule, établie pour $x \notin \{b_1, \dots, b_n\}$ , se prolonge à tout $\mathbb{R}$ par continuité polynomiale.

2. Diagonalisabilité de $M$ .

Pour montrer que $M$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ , il suffit de prouver que $\chi_M$ possède $n$ racines réelles distinctes. Considérons la fonction rationnelle définie sur $\mathbb{R} \setminus \{b_1, \dots, b_n\}$ par :

f(x) = 1 - \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{x-b_i}

Les racines de $\chi_M$ qui ne sont pas des $b_i$ sont les zéros de $f$ . Étudions $f$ sur chaque intervalle $I_k = ]b_k, b_{k+1}[$ pour $k \in \{1, \dots, n-1\}$ :

$f$ est dérivable et $f'(x) = \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{(x-b_i)^2} > 0$ (car $a_i > 0$ ). Donc $f$ est strictement croissante sur chaque $I_k$ .
$\lim_{x \to b_k^+} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to b_{k+1}^-} f(x) = +\infty$ .

D'après le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie, $f$ s'annule exactement une fois sur chaque intervalle $]b_k, b_{k+1}[$ . Cela nous donne déjà $n-1$ racines distinctes.

Il reste à trouver une $n$ -ième racine. Regardons sur l'intervalle $]b_n, +\infty[$ :

$f$ est strictement croissante sur $]b_n, +\infty[$ .
$\lim_{x \to b_n^+} f(x) = -\infty$ .
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$ .

Ainsi, $f$ s'annule exactement une fois sur $]b_n, +\infty[$ . On a donc trouvé $n$ racines réelles distinctes pour le polynôme $\chi_M$ (puisqu'elles appartiennent à des intervalles disjoints).

\boxed{\text{Le spectre de } M \text{ est constitué de } n \text{ réels distincts, donc } M \text{ est diagonalisable sur } \mathbb{R}.}

Attention à ne pas affirmer que les $b_i$ sont les valeurs propres. En calculant $\chi_M(b_k)$ , on remarque que le terme $1 - \sum \frac{a_i}{x-b_i}$ "explose", mais le produit $\prod (x-b_j)$ compense cette limite. En réalité, $\chi_M(b_k) = -a_k \prod_{j \neq k} (b_k - b_j) \neq 0$ .