Caractérisation de l'identité par trace et ordre fini

Déterminer l'ensemble des matrices $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ satisfaisant les deux conditions suivantes :

Il existe un entier naturel non nul $s$ tel que $A^{s} = I_{n}$ .
La trace de la matrice $A$ est égale à $n$ .

1.

Commencer par justifier que la matrice $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ en utilisant un polynôme annulateur simple.

2.

Identifier la nature des valeurs propres de $A$ à l'aide de la première condition.

3.

Relier la trace de la matrice à ses valeurs propres.

4.

Utiliser une inégalité sur la partie réelle des nombres complexes de module 1 pour conclure sur la valeur des racines.

Idées clés

•

Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

•

La trace est la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité.

•

Pour tout nombre complexe $z$ de module 1, on a $\text{Re}(z) \leq 1$ , avec égalité si et seulement si $z=1$ .

Résolution.

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice vérifiant les conditions de l'énoncé.

Étape 1 : Diagonalisabilité de la matrice.

La condition $A^s = I_n$ montre que le polynôme $P(X) = X^s - 1$ est un polynôme annulateur de $A$ .

Ce polynôme $P$ est scindé sur $\mathbb{C}$ et ses racines sont les racines $s$ -ièmes de l'unité, données par :

\left\{ e^{\frac{2ik\pi}{s}},   k \in \{0, \dots, s-1\} \right\}

Ces racines sont deux à deux distinctes, donc $P$ est un polynôme à racines simples.

D'après le critère de diagonalisation, la matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

\boxed{A \text{ est diagonalisable sur } \mathbb{C}}

Étape 2 : Analyse des valeurs propres.

Notons $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ (non nécessairement distinctes).

Comme chaque valeur propre $\lambda_j$ doit être racine de tout polynôme annulateur de $A$ , on a :

\forall j \in \{1, \dots, n\},   \lambda_j^s = 1

On en déduit que toutes les valeurs propres de $A$ sont de module 1 :

\forall j \in \{1, \dots, n\},   |\lambda_j| = 1

Étape 3 : Utilisation de la trace.

La trace d'une matrice est égale à la somme de ses valeurs propres. Par hypothèse, on a :

\text{Tr}(A) = \sum_{j=1}^n \lambda_j = n

En passant à la partie réelle dans cette égalité, nous obtenons :

\text{Re} \left( \sum_{j=1}^n \lambda_j \right) = \sum_{j=1}^n \text{Re}(\lambda_j) = n

Or, pour tout nombre complexe $z$ , on sait que $\text{Re}(z) \leq |z|$ . Puisque chaque $|\lambda_j| = 1$ , il vient :

\forall j \in \{1, \dots, n\},   \text{Re}(\lambda_j) \leq 1

Étape 4 : Conclusion sur les valeurs propres.

Nous avons une somme de $n$ termes, chacun inférieur ou égal à 1, dont le résultat vaut $n$ . Ceci impose que chaque terme de la somme soit égal à sa valeur maximale :

\forall j \in \{1, \dots, n\},   \text{Re}(\lambda_j) = 1

Comme on sait par ailleurs que $|\lambda_j| = 1$ , et que la condition $|\lambda_j|=1$ jointe à $\text{Re}(\lambda_j)=1$ implique nécessairement $\lambda_j = 1$ , on en déduit :

\forall j \in \{1, \dots, n\},   \lambda_j = 1

Étape 5 : Synthèse.

La matrice $A$ est diagonalisable et sa seule valeur propre est 1.

Il existe donc une matrice inversible $P \in GL_n(\mathbb{C})$ telle que :

A = P I_n P^{-1} = I_n

Réciproquement, la matrice identité vérifie bien $I_n^1 = I_n$ et $\text{Tr}(I_n) = n$ .

L'unique solution est la matrice identité :

\boxed{A = I_n}

Une erreur classique consiste à oublier de justifier la diagonalisabilité. Sans cette propriété, une matrice dont la seule valeur propre est 1 n'est pas forcément l'identité (penser aux matrices triangulaires supérieures avec des 1 sur la diagonale et des éléments non nuls au-dessus). Ici, c'est la condition $A^s=I_n$ qui garantit la diagonalisabilité.