Trace et réduction sous contraintes polynomiales

On se propose d'étudier les matrices dont la trace est fixée et qui annulent un polynôme spécifique.

Soit $\mathbb{K}$ un corps de caractéristique nulle (par exemple $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). Déterminer l'ensemble des matrices $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ vérifiant les deux conditions suivantes : $A^{2} = A \text{et} \operatorname{Tr}(A) = 0$
Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ une matrice telle que $M^{n} = I_{n}$ . Montrer que si $\operatorname{Tr}(M) = n$ , alors la matrice $M$ est nécessairement l'identité $I_n$ .

1.

Pour la première question, identifiez la nature géométrique des matrices vérifiant $A^2=A$ et utilisez le lien entre la trace et le rang pour ces objets.

2.

Pour la seconde question, exploitez la diagonalisabilité de $M$ sur $\mathbb{C}$ et étudiez ses valeurs propres. Utilisez l'inégalité triangulaire sur les nombres complexes ou une étude des parties réelles.

Idées clés

•

Lien entre trace d'un projecteur et son rang.

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Diagonalisabilité par un polynôme annulateur scindé à racines simples.

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Cas d'égalité de l'inégalité triangulaire ou étude des parties réelles pour les racines de l'unité.

Résolution.

Étude des projecteurs de trace nulle. Soit $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ telle que $A^{2} = A$ . La matrice $A$ annule le polynôme $P(X) = X^2 - X = X(X-1)$ . Ce polynôme est scindé à racines simples dans $\mathbb{K}$ (les racines sont 0 et 1). Par conséquent, $A$ est une matrice de projecteur et elle est diagonalisable. Ses valeurs propres appartiennent à l'ensemble $\{0, 1\}$ . Soit $r$ le rang de la matrice $A$ . On sait que pour tout projecteur en dimension finie, la trace est égale au rang de l'endomorphisme associé : $\operatorname{Tr}(A) = \operatorname{rg}(A)$ D'après l'énoncé, nous avons la condition $\operatorname{Tr}(A) = 0$ . On en déduit : $\operatorname{rg}(A) = 0$ La seule matrice de rang nul est la matrice nulle. $\boxed{A = 0_{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}}$
Matrice dont les valeurs propres sont des racines de l'unité. Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ telle que $M^{n} = I_{n}$ . La matrice $M$ annule le polynôme $Q(X) = X^n - 1$ . Ce polynôme est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ (les racines sont les $n$ racines $n$ -ièmes de l'unité). Ainsi, $M$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ . Notons $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ ses valeurs propres (comptées avec multiplicité). Chaque valeur propre $\lambda_j$ vérifie $\lambda_j^n = 1$ , donc $|\lambda_j| = 1$ . La trace est la somme des valeurs propres : $\operatorname{Tr}(M) = \sum_{j=1}^{n} \lambda_j = n$ Considérons la partie réelle de cette égalité : $\sum_{j=1}^{n} \operatorname{Re}(\lambda_j) = n$ Or, pour tout $j \in \{1, \dots, n\}$ , on a $|\lambda_j| = 1$ , ce qui implique $\operatorname{Re}(\lambda_j) \leq 1$ . Si l'une des parties réelles était strictement inférieure à 1, la somme serait strictement inférieure à $n$ . Par conséquent, nous avons nécessairement : $\forall j \in \{1, \dots, n\}, \operatorname{Re}(\lambda_j) = 1$ Comme $|\lambda_j| = 1$ et $\operatorname{Re}(\lambda_j) = 1$ , le nombre complexe $\lambda_j$ est obligatoirement égal à 1. L'unique valeur propre de $M$ est 1. Comme $M$ est diagonalisable, elle est semblable à $I_n$ , d'où : $\boxed{M = I_n}$

Attention à ne pas oublier de justifier la diagonalisabilité. Une matrice dont la seule valeur propre est 1 n'est pas forcément l'identité (penser aux matrices triangulaires supérieures avec des 1 sur la diagonale et des éléments non nuls au-dessus). C'est la conjonction du spectre réduit à $\{1\}$ et de la diagonalisabilité qui permet de conclure $M=I_n$ .