Diagonalisation d'un opérateur de composition

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur le corps $\mathbb{K}$ ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ).

On considère un projecteur $p \in \mathcal{L}(E)$ .

On définit l'application $\Phi$ sur l'espace $\mathcal{L}(E)$ par :

\forall f \in \mathcal{L}(E),   \Phi(f) = \frac{1}{2}(p \circ f + f \circ p)

Démontrer que l'endomorphisme $\Phi$ est diagonalizable.

1.

Calculer les premières puissances de l'opérateur $\Phi$ par composition.

2.

Exprimer le terme $p \circ f \circ p$ en fonction de $\Phi(f)$ et $\Phi^2(f)$ .

3.

Rechercher un polynôme annulateur de $\Phi$ scindé à racines simples.

4.

Alternativement, on peut étudier l'action de $\Phi$ sur une base de $\mathcal{L}(E)$ adaptée à la décomposition $E = \text{Im}(p) \oplus \text{Ker}(p)$ .

Idées clés

•

Utilisation d'un polynôme annulateur pour prouver la diagonalisabilité.

•

Exploitation de la relation caractéristique des projecteurs : $p^2 = p$ .

•

Décomposition de l'espace $\mathcal{L}(E)$ via les images et noyaux de $p$ .

Résolution.

Commençons par exprimer les premières puissances de l'endomorphisme $\Phi$ .

Pour tout $f \in \mathcal{L}(E)$ , nous avons :

\Phi(f) = \frac{1}{2}(pf + fp)

Calculons ensuite $\Phi^2(f) = \Phi(\Phi(f))$ en utilisant la linéarité de la composition et la propriété $p^2 = p$ :

\Phi^2(f) = \frac{1}{2} \left( p \circ \left[ \frac{1}{2}(pf + fp) \right] + \left[ \frac{1}{2}(pf + fp) \right] \circ p \right)

En développant, il vient :

\Phi^2(f) = \frac{1}{4} (p^2f + pfp + pfp + fp^2)

Comme $p$ est un projecteur, on a $p^2 = p$ , d'où :

\Phi^2(f) = \frac{1}{4} (pf + 2pfp + fp)

On remarque que l'expression de $\Phi(f)$ apparaît dans cette somme :

\Phi^2(f) = \frac{1}{2} \Phi(f) + \frac{1}{2} pfp

Nous pouvons donc isoler le terme central "croisé" :

\boxed{ pfp = 2\Phi^2(f) - \Phi(f) }

Appliquons à présent $\Phi$ à ce résultat. Par définition de $\Phi$ :

\Phi(pfp) = \frac{1}{2} (p(pfp) + (pfp)p) = \frac{1}{2} (p^2fp + pfp^2)

En utilisant à nouveau $p^2 = p$ , nous obtenons :

\Phi(pfp) = \frac{1}{2} (pfp + pfp) = pfp

Ainsi, $pfp$ est soit nul, soit un vecteur propre de $\Phi$ associé à la valeur propre $1$ .

En remplaçant $pfp$ par son expression en fonction de $\Phi$ , nous obtenons une relation structurelle sur $\Phi$ :

\Phi(2\Phi^2(f) - \Phi(f)) = 2\Phi^2(f) - \Phi(f)

Ce qui se traduit par l'égalité d'endomorphismes suivante :

2\Phi^3 - \Phi^2 = 2\Phi^2 - \Phi

L'endomorphisme $\Phi$ est donc annulé par le polynôme $P$ défini par :

\boxed{ P(X) = 2X^3 - 3X^2 + X }

Factorisons ce polynôme pour identifier ses racines :

P(X) = X(2X^2 - 3X + 1) = X(2X-1)(X-1)

Les racines de $P$ sont $0, \frac{1}{2}$ et $1$ .

Le polynôme $P$ est scindé sur $\mathbb{K}$ et toutes ses racines sont simples.

D'après le critère de diagonalisation par les polynômes annulateurs, nous en concluons que :

\boxed{ \Phi \text{ est diagonalisable} }

Une erreur fréquente est de s'arrêter à la relation $pfp = 2\Phi^2 - \Phi$ sans exploiter le fait que $\Phi(pfp) = pfp$ . Il est crucial de trouver une équation portant uniquement sur les puissances de $\Phi$ pour obtenir un polynôme annulateur.