Matrices monomiales et diagonalisabilité

Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . On suppose que chaque ligne et chaque colonne de $M$ contient au plus un coefficient non nul. À quelle condition la matrice $M$ est-elle diagonalisable sur $\mathbb{C}$ ?

1.

Interpréter la structure de la matrice en termes d'endomorphisme transformant la base canonique.

2.

Utiliser la décomposition d'une permutation en cycles disjoints.

3.

Se ramener à l'étude des blocs associés à chaque cycle (exercice précédent).

Idées clés

•

Décomposition d'un endomorphisme selon les orbites de la base canonique.

•

Une matrice possédant au plus un coefficient non nul par ligne et colonne est une matrice de permutation "pondérée".

Résolution.

Soit $u$ l'endomorphisme associé à $M$ . L'hypothèse signifie que pour tout $j \in \{1, \dots, n\}$ , $u(e_j)$ est soit nul, soit un multiple d'un vecteur $e_i$ , et que chaque $e_i$ apparaît au plus une fois dans ces images. On peut définir une application partielle $\sigma$ telle que $u(e_j) = \lambda_j e_{\sigma(j)}$ .

L'ensemble $\{1, \dots, n\}$ se décompose en orbites disjointes sous l'action de cette structure :

Des cycles : $i_1 \to i_2 \to \dots \to i_k \to i_1$ .
Des chaînes : $j_1 \to j_2 \to \dots \to j_m \to \text{0}$ .

La matrice $M$ est diagonalisable si et seulement si sa restriction à chaque sous-espace stable associé à une orbite est diagonalisable.

Étude des chaînes. Sur l'espace d'une chaîne, la restriction de $u$ est nilpotente. En effet, $u^m(e_{j_1}) = 0$ . Pour être diagonalisable, cette restriction doit être nulle. Cela impose $\lambda_{j_1} = \dots = \lambda_{j_{m-1}} = 0$ .

Étude des cycles. Sur un cycle $\gamma$ de longueur $k$ , la restriction est une matrice de cycle pondérée (voir Exercice 2). Elle est diagonalisable si et seulement si le produit des coefficients $\prod_{j \in \gamma} \lambda_j$ est non nul, ou si tous les coefficients du cycle sont nuls.

Synthèse. En regroupant les conditions, $M$ est diagonalisable si et seulement si pour chaque cycle de la structure, le produit des poids est non nul OU tous les poids sont nuls, et pour chaque chaîne, tous les poids sont nuls.

Une formulation plus élégante est la suivante : $M$ est diagonalisable si et seulement si pour chaque $j$ appartenant à un cycle de $\sigma$ , on a $(\prod_{i \in \text{cycle}(j)} \lambda_i \neq 0)$ ou $(\forall i \in \text{cycle}(j), \lambda_i = 0)$ , et pour tout $j$ n'appartenant à aucun cycle, $\lambda_j = 0$ .

Conclusion simplifiée. La matrice $M$ est diagonalisable si et seulement si :

\boxed{ \text{Pour tout cycle } \gamma, \left(\prod_{j \in \gamma} \lambda_j \neq 0 \text{ ou } \forall j \in \gamma, \lambda_j = 0\right) \text{ et hors des cycles, } \lambda_j = 0 }

Attention aux "chaînes" qui se terminent par 0 (colonnes nulles). Elles créent de la nilpotence. Pour que $M$ soit diagonalisable, ces chaînes doivent être de longueur 1 avec un coefficient nul, sinon on a un bloc du type $\begin{pmatrix} 0 & 0 1 & 0 \end{pmatrix}$ qui n'est pas diagonalisable.