Propriétés spectrales d'une matrice à structure antisymétrique

Résolution.

1. Calculons $\det(A)$ par des opérations élémentaires sur les lignes : Effectuons $L_2 \leftarrow L_2 + L_1$, $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$ et $L_4 \leftarrow L_4 + L_1$ :
   $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1$$
   0 & 2 & 0 & 2
   0 & 2 & 2 & 0
   0 & 0 & 2 & 2 \end{vmatrix}
   En développant par rapport à la première colonne :
   $$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 & 2$$
   2 & 2 & 0
   0 & 2 & 2 \end{vmatrix}
   Par la règle de Sarrus ou un nouveau développement :
   $$\det(A) = 2(4 - 0) - 0 + 2(4 - 0) = 8 + 8$$
   $$\boxed{\det(A) = 16}$$

2. 1. Observons la matrice ${}^t A$ :
      $${}^t A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1$$
      1 & 1 & 1 & -1
      1 & -1 & 1 & 1
      1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
      On remarque que $A + {}^t A = 2I$, d'où la relation :
      $$\boxed{{}^t A = 2I - A}$$

   2. Posons $M_x = A - xI$. Alors ${}^t M_x = {}^t A - xI = (2I - A) - xI = (2-x)I - A$. Calculons le produit :
      $$(A-xI)({}^t A-xI) = (A-xI)((2-x)I - A)$$
      En développant, comme $A$ et $I$ commutent :
      $$(A-xI)({}^t A-xI) = (2-x)A - A^2 - x(2-x)I + xA$$
      $$(A-xI)({}^t A-xI) = -A^2 + 2A + (x^2 - 2x)I$$
      Calculons $A^2$ à partir de $A^2 - 2A$. Un calcul direct donne :
      $$A^2 = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 & 2$$
      -2 & -2 & -2 & 2
      -2 & 2 & -2 & -2
      -2 & -2 & 2 & -2 \end{pmatrix} = 2A - 4I
      Ainsi, $-A^2 + 2A = 4I$. On en déduit :
      $$(A-xI)({}^t A-xI) = 4I + (x^2 - 2x)I$$
      $$\boxed{(A-xI)({}^t A-xI) = (x^2 - 2x + 4)I}$$

   3. Prenons le déterminant de l'égalité précédente :
      $$\det\left[ (A-xI)({}^t A-xI) \right] = \det\left[ (x^2 - 2x + 4)I \right]$$
      Comme $\det(M \cdot N) = \det(M)\det(N)$ et $\det({}^t M) = \det(M)$, on a :
      $$(\det(A-xI))^2 = (x^2 - 2x + 4)^4$$
      Le polynôme caractéristique est $\chi_A(x) = \det(xI - A) = \det(-(A-xI)) = (-1)^4 \det(A-xI)$. Ainsi, $(\chi_A(x))^2 = (x^2 - 2x + 4)^4$, ce qui implique :
      $$\chi_A(x) = \pm (x^2 - 2x + 4)^2$$
      Comme $\chi_A$ est un polynôme unitaire de degré 4, on conclut :
      $$\boxed{\chi_A(x) = (x^2 - 2x + 4)^2}$$

3. Cherchons les racines de $x^2 - 2x + 4$. Le discriminant est $\Delta = 4 - 16 = -12 = (2i\sqrt{3})^2$. Les racines complexes sont $\lambda_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $\lambda_2 = 1 - i\sqrt{3}$. D'après la question 2.(b) avec $x=0$, on a $A \cdot {}^t A = 4I$. Comme ${}^t A = 2I - A$, on obtient $A(2I - A) = 4I$, soit $2A - A^2 = 4I$. Le polynôme $P(X) = X^2 - 2X + 4$ est donc un polynôme annulateur de $A$.
   $$\boxed{P(A) = A^2 - 2A + 4I = 0}$$
   Ce polynôme $P$ est scindé dans $\mathbb{C}[X]$ et ses racines $\lambda_1, \lambda_2$ sont simples. Par conséquent, $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_4(\mathbb{C})$. En revanche, $P$ n'a aucune racine réelle (son discriminant est strictement négatif). Les valeurs propres de $A$ étant les racines de son polynôme minimal (qui divise $P$), elles ne sont pas réelles. Conclusion : $A$ n'admet aucune valeur propre réelle, elle n'est donc pas diagonalisable dans $\mathcal{M}_4(\mathbb{R})$.