Réduction d'une matrice par blocs antisymétrique

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère la matrice $P \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ définie par blocs :

P = \begin{pmatrix} 0 & I_n -I_n & 0 \end{pmatrix}

Calculer $P^2$ . En déduire les valeurs propres complexes de $P$ .
La matrice $P$ est-elle diagonalisable sur $\mathbb{R}$ ? Sur $\mathbb{C}$ ?
Déterminer les sous-espaces propres associés dans $\mathbb{C}^{2n}$ .

1.

Utiliser le produit par blocs pour $P^2$ .

2.

Un polynôme annulateur simple permet de conclure sur la diagonalisabilité.

3.

Pour les vecteurs propres, poser $V = \binom{X}{Y}$ avec $X, Y \in \mathbb{C}^n$ .

Idées clés

•

Calcul par blocs.

•

Critère de diagonalisabilité via les polynômes annulateurs.

•

Structure des vecteurs propres pour les matrices blocs.

Résolution.

Calculons $P^2$ par blocs : $P^2 = \begin{pmatrix} 0 & I_n -I_n & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & I_n -I_n & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -I_n & 0 0 & -I_n \end{pmatrix}$ On obtient donc : $\boxed{P^2 = -I_{2n}}$ Le polynôme $Q(X) = X^2 + 1$ est un polynôme annulateur de $P$ . Les valeurs propres complexes de $P$ sont donc des racines de $Q$ . Comme $P$ n'a pas de valeur propre réelle (car $x^2+1=0$ n'a pas de solution réelle), on en déduit : $\boxed{\mathrm{Sp}(P) = \{i, -i\}}$
- Sur $\mathbb{R}$ : $P$ n'a pas de valeur propre réelle, elle n'est donc pas diagonalisable.
- Sur $\mathbb{C}$ : Le polynôme $Q(X) = (X-i)(X+i)$ est un polynôme annulateur scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ .
D'après le cours, la matrice $P$ $P$ est diagonalisable sur $\mathbb{C$ C}.
Soit $V = \begin{pmatrix} X Y \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{2n}$ avec $X, Y \in \mathbb{C}^n$ . L'équation $PV = iV$ équivaut à : $\begin{pmatrix} 0 & I_n -I_n & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X Y \end{pmatrix} = i \begin{pmatrix} X Y \end{pmatrix} \iff \begin{cases} Y = iX -X = iY \end{cases}$ La seconde équation est redondante car $-X = i(iX) = -X$ . Les vecteurs propres associés à $i$ sont donc de la forme $\begin{pmatrix} X iX \end{pmatrix}$ . De même, pour la valeur propre $-i$ , les vecteurs sont de la forme $\begin{pmatrix} X -iX \end{pmatrix}$ . Les sous-espaces propres sont donc : $\boxed{E_i = \{ \begin{pmatrix} X iX \end{pmatrix} \mid X \in \mathbb{C}^n \} \text{et} E_{-i} = \{ \begin{pmatrix} X -iX \end{pmatrix} \mid X \in \mathbb{C}^n \}}$ Ces deux espaces sont de dimension $n$ .

Attention à ne pas dire que $P$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ sous prétexte qu'elle est "simple". Une matrice réelle diagonalisable doit avoir toutes ses valeurs propres dans $\mathbb{R}$ .