Diagonalisabilité des produits AB et BA

Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. On considère deux matrices rectangulaires $A \in \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_{p, n}(\mathbb{R})$ .

On suppose que la matrice carrée $AB \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est diagonalisable et inversible.

Démontrer que la matrice $BA \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ est également diagonalisable.

1.

Utiliser la caractérisation de la diagonalisabilité par les polynômes annulateurs scindés à racines simples.

2.

Si $P$ est un polynôme, établir une relation entre $P(AB)$ et $P(BA)$ . On pourra commencer par examiner le cas des monômes $P(X) = X^k$ .

3.

Montrer que si $P(AB) = 0$ , alors la matrice $BA$ est annulée par un polynôme lié à $P$ dont on étudiera les racines.

Idées clés

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Caractérisation polynomiale : $M$ est diagonalisable si et seulement s'il existe un polynôme $Q$ scindé à racines simples tel que $Q(M) = 0$ .

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Relation fondamentale : pour tout entier $k \in \mathbb{N}$ , on a l'égalité $B(AB)^k A = (BA)^{k+1}$ .

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Lien avec l'inversibilité : si $AB$ est inversible, $0$ n'est pas valeur propre de $AB$ .

Résolution.

Considérons le polynôme minimal de la matrice $AB$ , noté $\mu_{AB}$ .

Par hypothèse, $AB$ est diagonalisable, donc $\mu_{AB}$ est un polynôme scindé sur $\mathbb{R}$ à racines simples.

De plus, $AB$ est inversible, ce qui implique que $0$ n'est pas une valeur propre de $AB$ .

Comme les racines de $\mu_{AB}$ sont exactement les valeurs propres de $AB$ , on en déduit que :

\boxed{ \mu_{AB}(0) \neq 0 }

Notons ce polynôme $\mu_{AB}(X) = \sum_{k=0}^m \alpha_k X^k$ . Par définition, on a $\mu_{AB}(AB) = 0$ .

Utilisons maintenant la relation entre les puissances de $AB$ et de $BA$ . Pour tout $k \in \mathbb{N}$ , on a :

B(AB)^k A = B \underbrace{(AB)(AB)\dots(AB)}_{k \text{ fois}} A = \underbrace{(BA)(BA)\dots(BA)}_{k \text{ fois}} (BA) = (BA)^{k+1}

Par linéarité, multiplions l'égalité $\mu_{AB}(AB) = 0$ à gauche par $B$ et à droite par $A$ :

B \left( \sum_{k=0}^m \alpha_k (AB)^k \right) A = 0

En développant, il vient :

\sum_{k=0}^m \alpha_k B(AB)^k A = 0

D'après la relation sur les puissances établie précédemment, cela se réécrit :

\sum_{k=0}^m \alpha_k (BA)^{k+1} = 0

Posons alors le polynôme $Q(X) = X \mu_{AB}(X)$ . L'égalité précédente montre que :

\boxed{ Q(BA) = 0 }

Le polynôme $Q$ est un polynôme annulateur de $BA$ . Analysons ses racines :

Puisque $\mu_{AB}$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ , ses racines sont réelles et distinctes, notons-les $\lambda_1, \dots, \lambda_m$ .
Les racines de $Q$ sont $\{0\} \cup \{\lambda_1, \dots, \lambda_m\}$ .
Comme $0$ n'est pas racine de $\mu_{AB}$ (car $AB$ est inversible), la valeur $0$ est une racine simple de $Q$ .

Ainsi, $Q$ est un polynôme scindé sur $\mathbb{R}$ dont toutes les racines sont simples.

L'existence d'un tel polynôme annulateur permet de conclure :

\boxed{ BA \text{ est diagonalisable} }

L'erreur classique est de penser que $AB$ et $BA$ ont le même polynôme minimal. C'est faux dès que $n \neq p$ . En effet, si $p > n$ , $BA$ est de taille plus grande que $AB$ et son rang est au plus $n$ , donc $BA$ n'est pas inversible : $0$ est nécessairement valeur propre de $BA$ alors qu'il ne l'est pas pour $AB$ .