Diagonalisation d'un endomorphisme de traces

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'application $\Phi$ définie sur l'espace vectoriel $E = \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ par :

\Phi : M \longmapsto M + \operatorname{Tr}(M) I_{n}

Justifier que $\Phi$ est un endomorphisme de $E$ .
Déterminer un polynôme annulateur de $\Phi$ scindé à racines simples.
En déduire que $\Phi$ est diagonalisable et préciser son spectre.

1.

Pour la question 1, utiliser la linéarité de la trace.

2.

Pour la question 2, calculer $\Phi^2(M)$ en exprimant $\operatorname{Tr}(\Phi(M))$ en fonction de $\operatorname{Tr}(M)$ .

3.

Se souvenir qu'un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples sur le corps considéré.

Idées clés

•

Linéarité de la trace pour établir l'endomorphisme.

•

Recherche d'une relation de dépendance linéaire entre $\Phi^2$ , $\Phi$ et $\operatorname{Id}$ (méthode polynomiale).

•

Étude des sous-espaces propres pour identifier le spectre.

Résolution.

Soient $M, N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ . Par linéarité de la trace : $\operatorname{Tr}(\lambda M + \mu N) = \lambda \operatorname{Tr}(M) + \mu \operatorname{Tr}(N)$ On en déduit : $\Phi(\lambda M + \mu N) = (\lambda M + \mu N) + \operatorname{Tr}(\lambda M + \mu N) I_n$ $\Phi(\lambda M + \mu N) = \lambda (M + \operatorname{Tr}(M) I_n) + \mu (N + \operatorname{Tr}(N) I_n) = \lambda \Phi(M) + \mu \Phi(N)$ L'application $\Phi$ est donc linéaire. Comme elle va de $E$ dans lui-même, c'est un endomorphisme.
Cherchons une relation entre $\Phi^2(M)$ et $\Phi(M)$ . Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Par définition : $\Phi^2(M) = \Phi\left( M + \operatorname{Tr}(M)I_n \right) = \Phi(M) + \operatorname{Tr}(M)\Phi(I_n)$ Calculons séparément $\Phi(I_n)$ : $\Phi(I_n) = I_n + \operatorname{Tr}(I_n) I_n = I_n + n I_n = (n+1) I_n$ D'autre part, on remarque que $\operatorname{Tr}(M) I_n = \Phi(M) - M$ . Injectons ceci dans l'expression de $\Phi^2(M)$ : $\Phi^2(M) = \Phi(M) + \operatorname{Tr}(M) (n+1) I_n$ $\Phi^2(M) = \Phi(M) + (n+1) (\Phi(M) - M)$ En regroupant les termes, nous obtenons pour tout $M \in E$ : $\Phi^2(M) - (n+2) \Phi(M) + (n+1) M = 0_{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}$ Ainsi, le polynôme suivant est un polynôme annulateur de $\Phi$ : $\boxed{ P(X) = X^2 - (n+2)X + (n+1) }$ Ce polynôme se factorise immédiatement car $1$ est racine évidente (la somme des coefficients est nulle) : $\boxed{ P(X) = (X-1)(X - (n+1)) }$
Le polynôme $P$ est annulateur de $\Phi$ . Ses racines sont $1$ et $n+1$ . Comme $n \ge 1$ , on a $n+1 \neq 1$ . Le polynôme $P$ est donc scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ . D'après le critère de diagonalisation polynomial : $\boxed{ \Phi \text{ est diagonalisable} }$ Détermination du spectre : Les valeurs propres possibles de $\Phi$ sont les racines de son polynôme annulateur, soit $\{1, n+1\}$ . - Si $n > 1$ : Toute matrice $M$ de trace nulle vérifie $\Phi(M) = M$ , donc $1 \in \operatorname{Sp}(\Phi)$ (l'espace des matrices de trace nulle est de dimension $n^2-1 \ge 3$ ). De plus, $\Phi(I_n) = (n+1) I_n$ , donc $n+1 \in \operatorname{Sp}(\Phi)$ . - Si $n = 1$ : L'espace est de dimension 1, $\Phi(M) = M + M = 2M$ . La seule valeur propre est $2$ , ce qui correspond bien à $n+1$ . Conclusion sur le spectre : $\boxed{ \operatorname{Sp}(\Phi) = \begin{cases} \{1, n+1\} & \text{si } n > 1 \{2\} & \text{si } n = 1 \end{cases} }$

Ne pas oublier de vérifier que les racines du polynôme annulateur sont bien distinctes. Ici, $1 = n+1$ si et seulement si $n=0$ , ce qui est exclu par l'énoncé. Si $n=1$ , l'une des deux valeurs n'est pas forcément valeur propre (ici $1$ ne l'est pas), mais cela n'empêche pas la diagonalisabilité.