Réduction et contraintes sur les coefficients

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice carrée. On suppose que pour tout triplet d'indices $(i, j, k) \in \{1, \dots, n\}^3$ , les coefficients de $A$ vérifient la relation :

A_{i,k} A_{k,j} = A_{i,j} A_{k,k}

Déterminer une relation matricielle simple satisfaite par $A$ en utilisant la trace de la matrice.
En déduire le spectre de $A$ et étudier sa diagonalisabilité.

1.

Calculer le coefficient général de la matrice $A^2$ en utilisant la définition du produit matriciel et la relation fournie dans l'énoncé.

2.

Utiliser l'existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples comme critère de diagonalisabilité.

Idées clés

•

Lien entre coefficients et produit matriciel : $(A^2)_{i,j} = \sum_{k=1}^n A_{i,k} A_{k,j}$ .

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Utilisation d'un polynôme annulateur pour restreindre les valeurs possibles du spectre.

•

Critère de diagonalisabilité : $u$ est diagonalizable si et seulement si il existe un polynôme annulateur scindé à racines simples.

Résolution.

Calculons le coefficient générique de la matrice $A^2$ , noté $(A^2)_{i,j}$ . Par définition du produit matriciel, on a : $(A^2)_{i,j} = \sum_{k=1}^n A_{i,k} A_{k,j}$
D'après l'hypothèse de l'énoncé, pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$ , nous avons $A_{i,k} A_{k,j} = A_{i,j} A_{k,k}$ . En injectant cette relation dans la somme, il vient :
$(A^2)_{i,j} = \sum_{k=1}^n A_{i,j} A_{k,k}$
On peut factoriser par $A_{i,j}$ qui ne dépend pas de l'indice de sommation $k$ :
$(A^2)_{i,j} = A_{i,j} \left( \sum_{k=1}^n A_{k,k} \right)$
On reconnaît dans la parenthèse la définition de la trace de la matrice $A$ . On en déduit donc que pour tout couple $(i,j)$ :
$(A^2)_{i,j} = \text{Tr}(A) A_{i,j}$
Ceci nous donne la relation matricielle suivante :
$\boxed{A^2 = \text{Tr}(A) A}$
La relation précédente montre que le polynôme $P(X) = X^2 - \text{Tr}(A) X$ est un polynôme annulateur de $A$ . On peut factoriser ce polynôme : $P(X) = X(X - \text{Tr}(A))$
Le spectre de $A$ , noté $\text{Sp}(A)$ , est inclus dans l'ensemble des racines du polynôme annulateur $P$ . Ainsi :
$\boxed{\text{Sp}(A) \subset \{0, \text{Tr}(A)\}}$
Concernant la diagonalisabilité, nous distinguons deux cas selon la valeur de la trace de $A$ :
Premier cas : $\text{Tr$ (A) \neq 0 $Tr (A) \neq = 0$ .} Dans ce cas, le polynôme $P(X) = X(X - \text{Tr}(A))$ possède deux racines complexes distinctes ( $0$ et $\text{Tr}(A)$ ). C'est donc un polynôme scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ . D'après le cours, l'existence d'un tel polynôme annulateur garantit que la matrice est diagonalizable.
$\boxed{\text{Si } \text{Tr}(A) \neq 0, \text{ alors } A \text{ est diagonalizable.}}$
Second cas : $\text{Tr$ (A) = 0 $Tr (A) = 0$ .} La relation établie à la question 1 devient $A^2 = 0$ . La matrice $A$ est donc nilpotente d'indice au plus 2.
Une matrice nilpotente est diagonalizable si et seulement si elle est nulle. En effet, si $A$ est diagonalizable et $A^2=0$ , alors sa matrice diagonale semblable $D$ vérifie $D^2=0$ , ce qui impose $D=0$ et donc $A=0$ .

$\boxed{\text{Si } \text{Tr}(A) = 0, \text{ alors } A \text{ est diagonalizable si et seulement si } A = 0.}$

Ne pas oublier de traiter le cas où la trace est nulle. Dans ce cas, $X^2$ est un polynôme annulateur, mais ses racines ne sont pas simples (0 est racine double). On ne peut pas conclure immédiatement à la diagonalisabilité sans l'étude de la nullité de la matrice.