Diagonalisation de la matrice de Fourier discrète

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ dont les coefficients sont définis par :

A = \left( \omega^{(j-1)(k-1)} \right)_{1 \leq j, k \leq n}   \text{où}   \omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}

Calculer explicitement la matrice $A^2$ , puis en déduire l'expression de $A^4$ en fonction de $I_n$ .
En déduire que la matrice $A$ est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

1.

Pour le calcul de $A^2$ , utiliser la formule de la somme des termes d'une suite géométrique $\sum_{m=0}^{n-1} z^m$ .

2.

Identifier la matrice $A^2$ comme étant liée à une matrice de permutation associée à une involution.

3.

Utiliser un polynôme annulateur scindé à racines simples.

Idées clés

•

Étude des sommes de racines $n$ -ièmes de l'unité.

•

Utilisation du critère polynomial de diagonalisabilité.

•

Manipulation de matrices de permutation.

Résolution.

Calcul de $A^2$ . Notons $B = A^2$ $B = A^{2}$ . Par définition du produit matriciel, le coefficient général $b_{j,k}$ $b_{j, k}$ de $B$ $B$ est :
$b_{j,k} = \sum_{l=1}^n a_{j,l} a_{l,k} = \sum_{l=1}^n \omega^{(j-1)(l-1)} \omega^{(l-1)(k-1)}$
En factorisant dans l'exposant, nous obtenons :
$b_{j,k} = \sum_{l=0}^{n-1} \left( \omega^{j+k-2} \right)^l$
Il s'agit d'une somme géométrique de raison $z = \omega^{j+k-2}$ $z = ω^{j + k - 2}$ . Deux cas se présentent selon que $z = 1$ $z = 1$ ou $z \neq 1$ $z \neq = 1$ . Comme $\omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}$ $ω = e^{\frac{2 iπ}{n}}$ , nous avons $\omega^m = 1$ $ω^{m} = 1$ si et seulement si $m$ $m$ est un multiple de $n$ $n$ . Ici, $0 \leq j+k-2 \leq 2n-2$ $0 \leq j + k - 2 \leq 2 n - 2$ . Ainsi, $j+k-2$ $j + k - 2$ est un multiple de $n$ $n$ si et seulement si $j+k-2 = 0$ $j + k - 2 = 0$ ou $j+k-2 = n$ $j + k - 2 = n$ .
- Si $j+k-2 \equiv 0 \pmod n$ , alors $b_{j,k} = \sum_{l=0}^{n-1} 1 = n$ .
- Sinon, $b_{j,k} = \frac{1-(\omega^{j+k-2})^n}{1-\omega^{j+k-2}} = \frac{1-1}{1-\omega^{j+k-2}} = 0$ .
Soit $P$ $P$ la matrice définie par $P = \frac{1}{n} A^2$ $P = \frac{1}{n} A^{2}$ . $P$ $P$ est une matrice de coefficients 0 ou 1. Plus précisément, $P$ $P$ est la matrice de la permutation $\sigma$ $σ$ de $\{1, \dots, n\}$ ${1, \dots, n}$ définie par :
$\sigma(1) = 1 \text{et} \forall j \in \{2, \dots, n\}, \ \sigma(j) = n - j + 2$
On vérifie immédiatement que $\sigma$ $σ$ est une involution ( $\sigma \circ \sigma = \text{id}$ $σ \circ σ = id$ ). Par conséquent, la matrice de permutation associée vérifie $P^2 = I_n$ $P^{2} = I_{n}$ . Nous en déduisons :
$A^2 = nP \implies A^4 = (nP)^2 = n^2 P^2$
D'où le résultat final :
$\boxed{A^4 = n^2 I_n}$
Diagonalisabilité de $A$ . D'après la question précédente, le polynôme $Q(X) = X^4 - n^2$ est un polynôme annulateur de $A$ . Cherchons les racines de $Q$ dans $\mathbb{C}$ . Ce sont les racines de l'équation $X^4 = n^2$ , ce qui équivaut à $X^2 = n$ ou $X^2 = -n$ . Les quatre racines distinctes sont : $\mathcal{R} = \{ \sqrt{n}, -\sqrt{n}, i\sqrt{n}, -i\sqrt{n} \}$ Le polynôme $Q$ possède quatre racines complexes distinctes, il est donc scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ . D'après le cours, une matrice est diagonalisable sur un corps $\mathbb{K}$ si et seulement s'il existe un polynôme annulateur scindé à racines simples sur ce corps. $\boxed{A \text{ est diagonalisable dans } \mathcal{M}_n(\mathbb{C})}$

Une erreur classique consiste à affirmer que $A^2 = n I_n$ . C'est faux. $A^2$ est une matrice qui "renverse" l'ordre des vecteurs de la base (sauf le premier), ce qui correspond à la propriété de la transformée de Fourier où $\mathcal{F}^2$ est l'opérateur de symétrie.