Diagonalisation d'une matrice tridiagonale symétrique

Soit $n$ un entier naturel tel que $n \geq 2$ . On considère la matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ définie par :

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & \cdots & 0 -1 & 0 & -1 & \ddots & \vdots 0 & -1 & \ddots & \ddots & 0 \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & -1 0 & \cdots & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}

Justifier, sans effectuer de calcul, que la matrice $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ .
On cherche à déterminer le spectre de $A$ $A$ . Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ $λ \in R$ une valeur propre de $A$ $A$ et $X = (x_1, \dots, x_n)^T \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ $X = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T} \in R^{n} ∖ {0}$ un vecteur propre associé.
1. Montrer qu'en posant $x_0 = 0$ et $x_{n+1} = 0$ , les composantes de $X$ vérifient une relation de récurrence linéaire d'ordre 2.
2. En déduire les valeurs possibles pour $\lambda$ et exprimer les valeurs propres de $A$ .
Donner une matrice diagonale semblable à $A$ .

1.

Utiliser le théorème spectral pour la première question.

2.

Traduire l'équation $AX = \lambda X$ en un système d'équations scalaires.

3.

Pour résoudre la récurrence $x_{k+1} + \lambda x_k + x_{k-1} = 0$ , on pourra poser $\lambda = -2\cos(\theta)$ avec $\theta \in ]0, \pi[$ (justifier que les valeurs propres sont dans $]-2, 2[$ ).

Idées clés

•

Théorème spectral : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable.

•

Étude d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 avec conditions aux limites ( $x_0 = x_{n+1} = 0$ ).

•

Utilisation des fonctions trigonométriques pour paramétrer les racines du polynôme caractéristique de la récurrence.

Résolution.

La matrice $A$ est clairement symétrique car $a_{i,j} = -1$ si $|i-j|=1$ et $a_{i,j}=0$ sinon, ce qui implique $a_{i,j} = a_{j,i}$ pour tout $(i,j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2$ .
Comme $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ , d'après le théorème spectral :
$\boxed{\text{La matrice } A \text{ est diagonalisable dans } \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).}$
1. L'équation $AX = \lambda X$ $A X = λ X$ se traduit par le système suivant :
  $\begin{cases} -x_2 = \lambda x_1 -x_{k-1} - x_{k+1} = \lambda x_k \text{pour } 2 \leq k \leq n-1 -x_{n-1} = \lambda x_n \end{cases}$
  En posant $x_0 = 0$ et $x_{n+1} = 0$ , la relation $-x_{k-1} - x_{k+1} = \lambda x_k$ devient valable pour tout $k \in \llbracket 1, n \rrbracket$ . En effet :
  - Pour $k=1$ : $-x_0 - x_2 = \lambda x_1 \implies -x_2 = \lambda x_1$ (cohérent).
  - Pour $k=n$ : $-x_{n-1} - x_{n+1} = \lambda x_n \implies -x_{n-1} = \lambda x_n$ (cohérent).
  On obtient la relation de récurrence :
  $\forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket, \boxed{x_{k+1} + \lambda x_k + x_{k-1} = 0}$
2. L'équation caractéristique associée à la récurrence est $r^2 + \lambda r + 1 = 0$ . Notons que si $|\lambda| > 2$ , les racines sont réelles et de la forme $r$ et $1/r$ . La condition $x_0 = x_{n+1} = 0$ imposerait alors $X=0$ , ce qui est exclu pour un vecteur propre. De même pour $|\lambda|=2$ . On peut donc poser $\lambda = -2 \cos(\theta)$ avec $\theta \in ]0, \pi[$ . L'équation devient $r^2 - 2\cos(\theta)r + 1 = 0$ , dont les racines sont $e^{i\theta}$ et $e^{-i\theta}$ .
  La solution générale est de la forme $x_k = \alpha \cos(k\theta) + \beta \sin(k\theta)$ . Comme $x_0 = 0$ , on a $\alpha = 0$ . Ainsi, $x_k = \beta \sin(k\theta)$ . Comme $X \neq 0$ , on a $\beta \neq 0$ . La condition $x_{n+1} = 0$ impose alors :
  $\sin((n+1)\theta) = 0 \implies (n+1)\theta = p\pi, p \in \mathbb{Z}$
  Comme $\theta \in ]0, \pi[$ , les valeurs possibles pour $p$ sont $\{1, 2, \dots, n\}$ . On obtient ainsi $n$ valeurs distinctes pour $\lambda$ :
  $\boxed{\lambda_p = -2 \cos\left(\frac{p\pi}{n+1}\right) \text{pour } p \in \{1, \dots, n\}}$
Puisque nous avons trouvé $n$ valeurs propres distinctes pour une matrice de taille $n$ , chaque sous-espace propre est de dimension 1. Une matrice diagonale semblable à $A$ est la matrice $D$ comportant ces valeurs propres sur sa diagonale : $\boxed{D = \begin{pmatrix} -2 \cos\left(\frac{\pi}{n+1}\right) & 0 & \cdots & 0 0 & -2 \cos\left(\frac{2\pi}{n+1}\right) & \ddots & \vdots \vdots & \ddots & \ddots & 0 0 & \cdots & 0 & -2 \cos\left(\frac{n\pi}{n+1}\right) \end{pmatrix}}$

Attention à ne pas oublier de vérifier que les $\lambda_p$ trouvés sont bien distincts. Ici, la fonction cosinus est strictement décroissante sur $]0, \pi[$ , donc les $n$ valeurs de $\lambda_p$ sont bien deux à deux distinctes.