Spectre et cyclicité des matrices de permutation

Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ . On considère l'endomorphisme $u_{\sigma}$ de $\mathbb{C}^n$ qui envoie chaque vecteur de la base canonique $(e_1, \dots, e_n)$ sur $e_{\sigma(i)}$ .

Établir que le spectre de $M_{\sigma}$ est inclus dans l'ensemble des racines de l'unité.
Montrer que si $\sigma$ est un cycle de longueur $n$ , alors $M_{\sigma}$ est semblable à la matrice : $\text{diag}(1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}) \text{ où } \omega = e^{2i\pi/n}$
En déduire une nouvelle preuve de la diagonalisabilité de $M_{\sigma}$ pour une permutation quelconque.

1.

Utiliser le fait que $X^k-1$ annule $M_{\sigma}$ pour montrer l'inclusion du spectre.

2.

Pour un cycle de longueur $n$ , on peut chercher les vecteurs propres sous la forme de progressions géométriques.

3.

Utiliser la décomposition en cycles disjoints et la stabilité des sous-espaces associés.

Idées clés

•

Propriété des racines d'un polynôme annulateur.

•

Étude explicite des éléments propres pour un endomorphisme de décalage (shift).

•

Stabilité et réduction par blocs.

Résolution.

Soit $\lambda \in \text{Sp}(M_{\sigma})$ . Il existe un entier $k \in \mathbb{N}^*$ tel que $M_{\sigma}^k = I_n$ . Par conséquent, toute valeur propre $\lambda$ doit vérifier l'équation : $\lambda^k = 1$ Ceci prouve que le spectre est composé exclusivement de racines de l'unité. $\boxed{\text{Sp}(M_{\sigma}) \subset \mathbb{U}}$
Supposons que $\sigma = (1 2 \dots n)$ . La matrice $M_{\sigma}$ vérifie $M_{\sigma}e_1 = e_2, M_{\sigma}e_2 = e_3, \dots, M_{\sigma}e_n = e_1$ . Cherchons un vecteur propre $x = \sum_{j=1}^n x_j e_j$ pour la valeur propre $\lambda$ . L'équation $M_{\sigma}x = \lambda x$ donne le système : $\begin{cases} x_n = \lambda x_1 x_1 = \lambda x_2 \dots x_{n-1} = \lambda x_n \end{cases}$ Ceci impose $x_1 = \lambda x_2 = \lambda^2 x_3 = \dots = \lambda^{n-1} x_n = \lambda^n x_1$ . Pour $x \neq 0$ , on a $\lambda^n = 1$ . Les $n$ racines $n$ -ièmes de l'unité sont donc des valeurs propres. Comme la matrice est de taille $n$ , elle possède $n$ valeurs propres distinctes, donc elle est diagonalizable et semblable à la matrice diagonale des racines de l'unité. $\boxed{M_{\sigma} \sim \text{diag}(1, \omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1})}$
Toute permutation $\sigma$ se décompose en cycles disjoints $c_1, \dots, c_r$ . Soit $E_j$ le sous-espace de $\mathbb{C}^n$ engendré par les vecteurs de la base canonique dont les indices sont dans le support du cycle $c_j$ . Chaque $E_j$ est stable par $u_{\sigma}$ et la restriction de $u_{\sigma}$ à $E_j$ agit comme un cycle de longueur $l_j$ . D'après la question précédente, chaque restriction est diagonalizable. $\mathbb{C}^n = E_1 \oplus E_2 \oplus \dots \oplus E_r$ L'espace total étant somme directe de sous-espaces stables sur lesquels l'endomorphisme induit est diagonalizable, l'endomorphisme $u_{\sigma}$ est lui-même diagonalizable.

Attention à l'ordre de la base pour les matrices de cycles. Si la permutation n'est pas le cycle canonique $(1 \dots n)$ , il faut d'abord réordonner la base pour retrouver la forme standard.