Diagonalisation sur le corps des complexes

Soit $M$ la matrice de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ définie par :

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 -1 & 1 & 2 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

Déterminer le polynôme caractéristique de $M$ .
La matrice $M$ est-elle diagonalisable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ ? Dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ ?
Déterminer une matrice inversible $P \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ telle que $P^{-1}MP$ soit diagonale.

1.

Développez le déterminant par rapport à la dernière ligne.

2.

Rappelez-vous qu'une matrice est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ si et seulement si elle possède $n$ valeurs propres distinctes (ou si son polynôme minimal est à racines simples).

Idées clés

•

Extension de corps : passage de $\mathbb{R}$ à $\mathbb{C}$ .

•

Critère de diagonalisabilité : polynôme scindé à racines simples.

Résolution.

Polynôme caractéristique : En développant par rapport à la troisième ligne : $\chi_M(X) = (X-2) \begin{vmatrix} X-1 & -1 1 & X-1 \end{vmatrix} = (X-2)((X-1)^2 + 1)$ En utilisant l'identité $a^2 + b^2 = (a-ib)(a+ib)$ , on obtient : $\boxed{ \chi_M(X) = (X-2)(X-1-i)(X-1+i) }$
Analyse de la diagonalisabilité : Les racines de $\chi_M$ sont $\{2, 1+i, 1-i\}$ . Sur $\mathbb{R}$ , le polynôme n'est pas scindé (car $1 \pm i \notin \mathbb{R}$ ), donc $M$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$ . Sur $\mathbb{C}$ , le polynôme est scindé et toutes les racines sont simples. Par conséquent, $M$ est diagonalisable sur $\mathbb{C$ $C$ }.
Éléments propres : Pour $\lambda = 2$ : $(M-2I)X=0 \iff \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 -1 & -1 & 2 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = 0$ . On trouve $x=y$ et $-x-x+2z=0 \implies z=x$ . Un vecteur propre est $v_1 = (1, 1, 1)$ . Pour $\lambda = 1+i$ : $(M-(1+i)I)X=0 \iff \begin{pmatrix} -i & 1 & 0 -1 & -i & 2 0 & 0 & 2-(1+i) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = 0$ . La dernière ligne impose $(1-i)z=0$ , donc $z=0$ . La première ligne donne $y=ix$ . Un vecteur propre est $v_2 = (1, i, 0)$ . Par conjugaison (puisque $M$ est réelle), pour $\lambda = 1-i$ , un vecteur propre est $v_3 = \overline{v_2} = (1, -i, 0)$ . On en déduit les matrices demandées : $\boxed{ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 1 & i & -i 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \Delta = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 0 & 1+i & 0 0 & 0 & 1-i \end{pmatrix} }$ *(Note : L'ordre des colonnes de $P$ peut varier selon l'ordre des valeurs propres dans $\Delta$ ).*

Ne pas oublier que si $\chi_M$ n'est pas scindé sur $\mathbb{K}$ , la matrice ne peut pas être diagonalisable sur ce corps. Cependant, elle peut l'être sur une extension de corps.