Analyse d'une matrice tridiagonale d'ordre 4

Résolution.

1. Calcul du polynôme caractéristique : $\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X & -1 & 0 & 0$
   -3 & X & -2 & 0
   0 & -2 & X & -3
   0 & 0 & -1 & X \end{vmatrix}. En développant par rapport à la première ligne : $\chi_A(X) = X \begin{vmatrix} X & -2 & 0$
   -2 & X & -3
   0 & -1 & X \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -3 & -2 & 0
   0 & X & -3
   0 & -1 & X \end{vmatrix} $\chi_A(X) = X [ X(X^2-3) + 2(-2X) ] + [ -3(X^2-3) ]$ $\chi_A(X) = X^2(X^2-3) - 4X^2 - 3X^2 + 9 = X^4 - 3X^2 - 7X^2 + 9$
   $$\boxed{ \chi_A(X) = X^4 - 10X^2 + 9 }$$

2. Valeurs propres : On pose $Y = X^2$. L'équation $Y^2 - 10Y + 9 = 0$ a pour racines évidentes $Y_1 = 1$ et $Y_2 = 9$. On en déduit les quatre racines de $\chi_A$ :
   $$\text{Sp}(A) = \{ -3, -1, 1, 3 \}$$
   Comme $A \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})$ admet quatre valeurs propres réelles distinctes, $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{R$}.

3. Vecteurs propres : Soit $X = (x, y, z, t)^T$. Le système $AX = \lambda X$ s'écrit : $\begin{cases} y = \lambda x$
   3x + 2z = \lambda y
   2y + 3t = \lambda z
   z = \lambda t \end{cases} $\bullet$ Pour $\lambda = 3$ : $y=3x$, $z=3t$. En remplaçant dans la 2ème équation : $3x + 2(3t) = 3(3x) \implies 6t = 6x \implies t=x$. On a $x=1 \implies y=3, z=3, t=1$. Vecteur $E_3 = \text{Vect}(1, 3, 3, 1)$. $\bullet$ Pour $\lambda = 1$ : $y=x$, $z=t$. La 2ème équation donne $3x + 2t = x \implies 2t = -2x \implies t=-x$. On a $x=1 \implies y=1, z=-1, t=-1$. Vecteur $E_1 = \text{Vect}(1, 1, -1, -1)$. $\bullet$ Par parité/symétrie (ou calcul similaire) : Pour $\lambda = -1$, on trouve $E_{-1} = \text{Vect}(1, -1, -1, 1)$. Pour $\lambda = -3$, on trouve $E_{-3} = \text{Vect}(1, -3, 3, -1)$. D'où la matrice de passage :
   $$\boxed{ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1$$
   3 & 1 & -1 & -3
   3 & -1 & -1 & 3
   1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix} }