Réduction d'une matrice tridiagonale de Toeplitz

Résolution.

1. Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ et $X = \begin{pmatrix} x_1 & \dots & x_n \end{pmatrix}^T \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$. L'équation $AX = \lambda X$ est équivalente au système :
   $$\begin{cases} x_2 = \lambda x_1$$
   x_{k-1} + x_{k+1} = \lambda x_k   \text{pour } k \in \{2, \dots, n-1\}
   x_{n-1} = \lambda x_n \end{cases}
   On pose $x_0 = 0$ et $x_{n+1} = 0$ pour unifier le système sous la forme :
   $$\forall k \in \{1, \dots, n\},   x_{k+1} - \lambda x_k + x_{k-1} = 0$$
   L'équation caractéristique associée est $r^2 - \lambda r + 1 = 0$. Si $|\lambda| < 2$, on pose $\lambda = 2 \cos \theta$ avec $\theta \in ]0, \pi[$. Les racines sont $e^{i\theta}$ et $e^{-i\theta}$. La solution générale est $x_k = \alpha \cos(k\theta) + \beta \sin(k\theta)$. La condition $x_0 = 0$ impose $\alpha = 0$, donc $x_k = \beta \sin(k\theta)$. La condition $x_{n+1} = 0$ avec $X \neq 0$ (donc $\beta \neq 0$) impose $\sin((n+1)\theta) = 0$. On en déduit $(n+1)\theta = p\pi$ avec $p \in \{1, \dots, n\}$. Ainsi, on obtient $n$ valeurs propres distinctes :
   $$\boxed{\lambda_p = 2 \cos\left(\frac{p\pi}{n+1}\right),   p \in \{1, \dots, n\}}$$
   Le vecteur propre $X_p$ associé à $\lambda_p$ a pour composantes $x_{k,p} = \sin\left(\frac{kp\pi}{n+1}\right)$ pour $k \in \{1, \dots, n\}$.

2. Pour $M$ et $T$ : On observe que $M = A + 2I_n$. Si $AX = \lambda X$, alors $MX = (\lambda + 2)X$. Les valeurs propres de $M$ sont donc :
   $$\boxed{\mu_p = 2 + 2\cos\left(\frac{p\pi}{n+1}\right) = 4\cos^2\left(\frac{p\pi}{2(n+1)}\right)}$$
   De même, $T = -A$. Les valeurs propres de $T$ sont :
   $$\boxed{\gamma_p = -2\cos\left(\frac{p\pi}{n+1}\right)}$$
   Les vecteurs propres sont les mêmes que pour $A$.

3. Soit $P = (x_{k,p})$ la matrice de passage. On calcule le coefficient $(p, q)$ de ${}^t P P$ :
   $$({}^t P P)_{p,q} = \sum_{k=1}^n \sin\left(\frac{kp\pi}{n+1}\right) \sin\left(\frac{kq\pi}{n+1}\right)$$
   En utilisant $2\sin a \sin b = \cos(a-b) - \cos(a+b)$, on a :
   $$({}^t P P)_{p,q} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left[ \cos\left(\frac{k(p-q)\pi}{n+1}\right) - \cos\left(\frac{k(p+q)\pi}{n+1}\right) \right]$$
   Si $p=q$, le premier terme vaut $\sum_{k=1}^n 1 = n$. Le second est une progression géométrique de partie réelle :
   $$\text{Re}\left( \sum_{k=1}^n e^{i \frac{2kp\pi}{n+1}} \right) = \text{Re}\left( e^{i \frac{2p\pi}{n+1}} \frac{1-e^{i \frac{2np\pi}{n+1}}}{1-e^{i \frac{2p\pi}{n+1}}} \right) = -1$$
   Donc $({}^t P P)_{p,p} = \frac{1}{2}(n - (-1)) = \frac{n+1}{2}$. Si $p \neq q$, les deux sommes valent $-1$, donc $({}^t P P)_{p,q} = 0$. On en conclut :
   $$\boxed{{}^t P P = \frac{n+1}{2} I_n \implies P^{-1} = \frac{2}{n+1} {}^t P}$$