Réduction d'une matrice tridiagonale spécifique

Soit $n=4$ . On considère la matrice $C \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})$ définie par :

C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 3 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Calculer le polynôme caractéristique de $C$ .
Montrer que $C$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ .
Déterminer les éléments propres de $C$ et donner une base de vecteurs propres.

1.

Développer le déterminant $\det(XI-C)$ suivant la première ligne ou la dernière ligne.

2.

Le polynôme obtenu est bicarré, ce qui facilite la recherche des racines.

3.

Pour les vecteurs propres, résoudre le système $CX = \lambda X$ en exprimant $x_2, x_3, x_4$ en fonction de $x_1$ .

Idées clés

•

Calcul de déterminant par développement.

•

Étude d'un polynôme bicarré.

•

Propriété : une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ayant $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable.

Résolution.

Polynôme caractéristique : Calculons $P(X) = \det(XI - C)$ : $P(X) = \begin{vmatrix} X & -1 & 0 & 0 -3 & X & -2 & 0 0 & -2 & X & -3 0 & 0 & -1 & X \end{vmatrix}$ Développons selon la première ligne : $P(X) = X \begin{vmatrix} X & -2 & 0 -2 & X & -3 0 & -1 & X \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -3 & -2 & 0 0 & X & -3 0 & -1 & X \end{vmatrix}$ En calculant les sous-déterminants : $D_1 = X(X^2 - 3) - (-2)(-2X) = X^3 - 3X - 4X = X^3 - 7X$ $D_2 = -3(X^2 - 3) = -3X^2 + 9$ On obtient : $P(X) = X(X^3 - 7X) - 3X^2 + 9 = X^4 - 7X^2 - 3X^2 + 9$ . D'où : $\boxed{\chi_C(X) = X^4 - 10X^2 + 9}$
Diagonalisabilité : On cherche les racines de $X^4 - 10X^2 + 9$ . En posant $Y = X^2$ , on a $Y^2 - 10Y + 9 = 0$ . Les racines en $Y$ sont $Y_1 = 1$ et $Y_2 = 9$ . Les racines de $\chi_C$ sont donc $\{1, -1, 3, -3\}$ . $\chi_C$ possède 4 racines réelles distinctes. Comme $C \in \mathcal{M$ _4(\mathbb{R}) $C \in M_{4} (R)$ possède 4 valeurs propres réelles distinctes, elle est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ .}
Éléments propres : Pour $\lambda \in \{1, -1, 3, -3\}$ , on résout $CX = \lambda X$ , soit : $\begin{cases} x_2 = \lambda x_1 3x_1 + 2x_3 = \lambda x_2 2x_2 + 3x_4 = \lambda x_3 x_3 = \lambda x_4 \end{cases}$ En remplaçant $x_2$ et $x_3$ : $3x_1 + 2\lambda x_4 = \lambda^2 x_1 \implies (3-\lambda^2)x_1 + 2\lambda x_4 = 0$ $2\lambda x_1 + 3x_4 = \lambda^2 x_4 \implies 2\lambda x_1 + (3-\lambda^2)x_4 = 0$ Pour $\lambda = 1$ : $2x_1 + 2x_4 = 0 \implies x_4 = -x_1$ . On a $x_2 = x_1$ et $x_3 = -x_1$ . D'où $E_1 = \text{Vect}((1, 1, -1, -1))$ . Pour $\lambda = -1$ : $2x_1 - 2x_4 = 0 \implies x_4 = x_1$ . On a $x_2 = -x_1$ et $x_3 = -x_1$ . D'où $E_{-1} = \text{Vect}((1, -1, -1, 1))$ . Pour $\lambda = 3$ : $-6x_1 + 6x_4 = 0 \implies x_4 = x_1$ . On a $x_2 = 3x_1$ et $x_3 = 3x_1$ . D'où $E_3 = \text{Vect}((1, 3, 3, 1))$ . Pour $\lambda = -3$ : $-6x_1 - 6x_4 = 0 \implies x_4 = -x_1$ . On a $x_2 = -3x_1$ et $x_3 = 3x_1$ . D'où $E_{-3} = \text{Vect}((1, -3, 3, -1))$ .

Dans le calcul de déterminant tridiagonal, une erreur de signe est vite arrivée. Vérifiez toujours la cohérence avec la trace de la matrice : ici $\text{Tr}(C) = 0$ , et la somme des valeurs propres $1-1+3-3 = 0$ .