Réduction d'une matrice symétrique par blocs

On considère la matrice $M$ définie par :

M = \begin{pmatrix} e & a & b & c a & e & c & b b & c & e & a c & b & a & e \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{4}(\mathbb{R})

où

a, b, c, e

sont des nombres réels.

L'objectif est de diagonaliser cette matrice en exploitant sa structure de blocs.

1.

Remarquer que la matrice $M$ peut s'écrire sous la forme par blocs $\begin{pmatrix} A & B B & A \end{pmatrix}$ avec $A, B \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ .

2.

Utiliser le vecteur colonne par blocs $\begin{pmatrix} X X \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} X -X \end{pmatrix}$ pour trouver des sous-espaces stables.

3.

Exploiter le fait que les matrices $A+B$ et $A-B$ sont elles-mêmes des matrices symétriques d'ordre 2 faciles à diagonaliser.

Idées clés

•

Décomposition en blocs de type $\begin{pmatrix} A & B B & A \end{pmatrix}$ .

•

Utilisation d'une base adaptée à la structure de blocs pour réduire la taille du problème.

•

Diagonalisation explicite de matrices symétriques de taille $2 \times 2$ .

Résolution.

Posons les matrices de taille $2 \times 2$ suivantes :

A = \begin{pmatrix} e & a a & e \end{pmatrix}   \text{et}   B = \begin{pmatrix} b & c c & b \end{pmatrix}

On remarque alors que la matrice $M$ s'écrit sous la forme :

M = \begin{pmatrix} A & B B & A \end{pmatrix}

Cherchons les vecteurs propres de $M$ sous la forme $V = \begin{pmatrix} X Y \end{pmatrix}$ avec $X, Y \in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})$ . L'équation aux valeurs propres $MV = \lambda V$ est équivalente au système :

\begin{cases} AX + BY = \lambda X BX + AY = \lambda Y \end{cases}

En additionnant et en soustrayant ces deux équations, on obtient :

\begin{cases} (A+B)(X+Y) = \lambda (X+Y) (A-B)(X-Y) = \lambda (X-Y) \end{cases}

Ainsi, les valeurs propres de $M$ sont les valeurs propres de $A+B$ et celles de $A-B$ .

Calculons explicitement ces deux matrices :

A+B = \begin{pmatrix} e+b & a+c a+c & e+b \end{pmatrix}   \text{et}   A-B = \begin{pmatrix} e-b & a-c a-c & e-b \end{pmatrix}

Ces matrices sont de la forme $\begin{pmatrix} x & y y & x \end{pmatrix}$ , dont les valeurs propres sont $x+y$ et $x-y$ associées respectivement aux vecteurs propres $\begin{pmatrix} 1 1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1 -1 \end{pmatrix}$ .

1. Valeurs propres de $A+B$ :

$\lambda_1 = (e+b) + (a+c) = e+a+b+c$ , associée à $X_1 = \begin{pmatrix} 1 1 \end{pmatrix}$ .
$\lambda_2 = (e+b) - (a+c) = e-a+b-c$ , associée à $X_2 = \begin{pmatrix} 1 -1 \end{pmatrix}$ .

2. Valeurs propres de $A-B$ :

$\lambda_3 = (e-b) + (a-c) = e+a-b-c$ , associée à $X_3 = \begin{pmatrix} 1 1 \end{pmatrix}$ .
$\lambda_4 = (e-b) - (a-c) = e-a-b+c$ , associée à $X_4 = \begin{pmatrix} 1 -1 \end{pmatrix}$ .

Nous en déduisons la matrice diagonale $D$ :

\boxed{D = \begin{pmatrix} e+a+b+c & 0 & 0 & 0 0 & e-a+b-c & 0 & 0 0 & 0 & e+a-b-c & 0 0 & 0 & 0 & e-a-b+c \end{pmatrix}}

Pour construire la matrice de passage $P$ , on utilise les vecteurs propres de $M$ correspondant à ces valeurs propres. D'après l'analyse initiale :

Pour $\lambda_1$ et $\lambda_2$ , on a $X+Y$ vecteur propre de $A+B$ et $X-Y=0$ , donc $X=Y$ .
Pour $\lambda_3$ et $\lambda_4$ , on a $X-Y$ vecteur propre de $A-B$ et $X+Y=0$ , donc $X=-Y$ .

Les colonnes de $P$ sont donc : $V_1 = \begin{pmatrix} 1 1 1 1 \end{pmatrix}$ , $V_2 = \begin{pmatrix} 1 -1 1 -1 \end{pmatrix}$ , $V_3 = \begin{pmatrix} 1 1 -1 -1 \end{pmatrix}$ , $V_4 = \begin{pmatrix} 1 -1 -1 1 \end{pmatrix}$ .

Ce qui nous donne la matrice de passage :

\boxed{P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & -1 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}}

Éviter de calculer le polynôme caractéristique $\chi_M(X) = \det(M - XI)$ de manière directe. Pour une matrice $4 \times 4$ , cela mène souvent à des calculs lourds et des erreurs de signe. La structure par blocs est ici la clé du problème.