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Réduction de matrices tridiagonales et symétries

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On se propose d'étudier deux matrices classiques de Mn(R)\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) afin d'en déterminer les propriétés spectrales et géométriques.

  1. Soit M∈Mn(R)M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) la matrice définie par :
    M=(210⋯0121⋱⋮01⋱⋱0⋮⋱⋱210⋯012)M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & \cdots & 0
    1 & 2 & 1 & \ddots & \vdots
    0 & 1 & \ddots & \ddots & 0
    \vdots & \ddots & \ddots & 2 & 1
    0 & \cdots & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
    Déterminer les valeurs propres de MM ainsi que les vecteurs propres associés. La matrice MM est-elle diagonalisable ?

  2. Soient u,v,wu, v, w trois réels non nuls. On considère la matrice N∈M3(R)N \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) suivante :
    N=−23(−1/2v/uw/uu/v−1/2w/vu/wv/w−1/2)N = -\frac{2}{3} \begin{pmatrix} -1/2 & v/u & w/u
    u/v & -1/2 & w/v
    u/w & v/w & -1/2 \end{pmatrix}
    Montrer que NN est la matrice d'une symétrie vectorielle. Préciser sa base et sa direction.

1.

Pour la matrice MM, traduire l'équation MX=λXMX = \lambda X sous forme d'une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 portant sur les composantes du vecteur propre, en introduisant des conditions aux bords fictives x0x_0 et xn+1x_{n+1}.

2.

Pour la matrice NN, on pourra vérifier que N2=I3N^2 = I_3 ou bien rechercher directement les sous-espaces propres associés aux valeurs propres 11 et −1-1.

Idées clés

•

Suite récurrente linéaire d'ordre 2 pour les matrices tridiagonales.

•

Caractérisation d'une symétrie par la relation s2=Ids^2 = Id.

•

Lien entre spectre et structure géométrique.

1. Étude de la matrice MM.

Soit λ∈R\lambda \in \mathbb{R} une valeur propre de MM et X=(x1,…,xn)T∈Rn∖{0}X = (x_1, \dots, x_n)^T \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\} un vecteur propre associé.

L'équation MX=λXMX = \lambda X est équivalente au système suivant :

{2x1+x2=λx1xk−1+2xk+xk+1=λxkpour k∈{2,…,n−1}xn−1+2xn=λxn\begin{cases} 2x_1 + x_2 = \lambda x_1
x_{k-1} + 2x_k + x_{k+1} = \lambda x_k   \text{pour } k \in \{2, \dots, n-1\}
x_{n-1} + 2x_n = \lambda x_n \end{cases}

En posant par convention x0=0x_0 = 0 et xn+1=0x_{n+1} = 0, le système se résume à une unique relation de récurrence :

xk+1+(2−λ)xk+xk−1=0pour k∈{1,…,n}x_{k+1} + (2-\lambda)x_k + x_{k-1} = 0   \text{pour } k \in \{1, \dots, n\}

L'équation caractéristique associée est r2+(2−λ)r+1=0r^2 + (2-\lambda)r + 1 = 0. Le produit des racines vaut 11.

Cherchons les racines sous la forme eiθe^{i\theta} et e−iθe^{-i\theta} avec θ∈]0,π[\theta \in ]0, \pi[. Cela implique eiθ+e−iθ=−(2−λ)e^{i\theta} + e^{-i\theta} = -(2-\lambda), soit :

λ=2+2cos⁡(θ)\lambda = 2 + 2\cos(\theta)

La solution générale de la récurrence est xk=Aeikθ+Be−ikθx_k = A e^{ik\theta} + B e^{-ik\theta}. La condition x0=0x_0 = 0 impose A+B=0A+B=0, d'où xk=Csin⁡(kθ)x_k = C \sin(k\theta) (avec C∈R∗C \in \mathbb{R}^*).

La condition xn+1=0x_{n+1} = 0 impose sin⁡((n+1)θ)=0\sin((n+1)\theta) = 0, donc (n+1)θ=pπ(n+1)\theta = p\pi pour p∈Zp \in \mathbb{Z}. Pour obtenir nn valeurs distinctes de λ\lambda et des vecteurs non nuls, on choisit p∈{1,…,n}p \in \{1, \dots, n\}.

Les valeurs propres de MM sont les réels :

λp=2+2cos⁡(pπn+1),p∈{1,…,n}\boxed{\lambda_p = 2 + 2\cos\left(\frac{p\pi}{n+1}\right),   p \in \{1, \dots, n\}}

Comme M∈Mn(R)M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) possède nn valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable. Un vecteur propre XpX_p associé à λp\lambda_p a pour composantes :

xk,p=sin⁡(kpπn+1)pour k∈{1,…,n}\boxed{x_{k,p} = \sin\left(\frac{kp\pi}{n+1}\right)   \text{pour } k \in \{1, \dots, n\}}

2. Étude de la matrice NN.

Explicitons la matrice NN :

N=(1/3−2v/3u−2w/3u−2u/3v1/3−2w/3v−2u/3w−2v/3w1/3)N = \begin{pmatrix} 1/3 & -2v/3u & -2w/3u
-2u/3v & 1/3 & -2w/3v
-2u/3w & -2v/3w & 1/3 \end{pmatrix}

Calculons N2N^2. Le coefficient (1,1)(1,1) de N2N^2 est :

(1/3)2+(−2v/3u)(−2u/3v)+(−2w/3u)(−2u/3w)=1/9+4/9+4/9=1(1/3)^2 + (-2v/3u)(-2u/3v) + (-2w/3u)(-2u/3w) = 1/9 + 4/9 + 4/9 = 1
Le coefficient (1,2)(1,2) de N2N^2 est :
(1/3)(−2v/3u)+(−2v/3u)(1/3)+(−2w/3u)(−2v/3w)=−2v/9u−2v/9u+4v/9u=0(1/3)(-2v/3u) + (-2v/3u)(1/3) + (-2w/3u)(-2v/3w) = -2v/9u - 2v/9u + 4v/9u = 0
Par symétrie des rôles, on vérifie que N2=I3N^2 = I_3. Ainsi, NN est la matrice d'une symétrie vectorielle.

Déterminons l'ensemble des points fixes E1=Ker(N−I3)E_1 = \text{Ker}(N-I_3) :

N−I3=(−2/3−2v/3u−2w/3u−2u/3v−2/3−2w/3v−2u/3w−2v/3w−2/3)N-I_3 = \begin{pmatrix} -2/3 & -2v/3u & -2w/3u
-2u/3v & -2/3 & -2w/3v
-2u/3w & -2v/3w & -2/3 \end{pmatrix}
Les lignes sont toutes proportionnelles à la forme linéaire (x,y,z)↦ux+vy+wz(x, y, z) \mapsto ux + vy + wz. Par exemple, L1=−23u(ux+vy+wz)L_1 = -\frac{2}{3u}(ux + vy + wz). Ainsi, la base de la symétrie est le plan d'équation :
ux+vy+wz=0\boxed{ux + vy + wz = 0}

Déterminons la direction de la symétrie E−1=Ker(N+I3)E_{-1} = \text{Ker}(N+I_3) :

N+I3=(4/3−2v/3u−2w/3u−2u/3v4/3−2w/3v−2u/3w−2v/3w4/3)N+I_3 = \begin{pmatrix} 4/3 & -2v/3u & -2w/3u
-2u/3v & 4/3 & -2w/3v
-2u/3w & -2v/3w & 4/3 \end{pmatrix}
On cherche un vecteur X=(x,y,z)TX = (x, y, z)^T tel que (N+I3)X=0(N+I_3)X = 0. En testant X=(1/u,1/v,1/w)TX = (1/u, 1/v, 1/w)^T :
43u−2v3u1v−2w3u1w=43u−23u−23u=0\frac{4}{3u} - \frac{2v}{3u} \frac{1}{v} - \frac{2w}{3u} \frac{1}{w} = \frac{4}{3u} - \frac{2}{3u} - \frac{2}{3u} = 0
La direction de la symétrie est la droite vectorielle :
Vect((1u,1v,1w))\boxed{\text{Vect}\left( \left( \frac{1}{u}, \frac{1}{v}, \frac{1}{w} \right) \right)}

Pour la matrice MM, ne pas oublier de vérifier que les valeurs propres trouvées sont bien distinctes. Si pp variait au-delà de nn, on retrouverait les mêmes valeurs de λp\lambda_p ou le vecteur nul.