Diagonalisation explicite de matrices usuelles

L'objectif de cet exercice est d'étudier la diagonalisabilité de trois matrices et, le cas échéant, de déterminer une matrice de passage et la forme diagonale associée.

Soient les matrices suivantes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ :

A=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 2 -2 & 5 & 2 2 & -3 & 0 \end{pmatrix},   B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 0 & 0 & -2 0 & 1 & 3 \end{pmatrix},   C=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 3 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Pour la matrice $A$ , déterminer son polynôme caractéristique, ses valeurs propres et la dimension de ses sous-espaces propres. Conclure sur sa diagonalisabilité.
Effectuer le même travail pour la matrice $B$ .
Pour la matrice $C$ , calculer son polynôme caractéristique en utilisant une équation bicarrée, puis déterminer ses éléments propres.

1.

Pour $A$ , on pourra effectuer l'opération $L_1 \leftarrow L_1 + L_3$ dans le déterminant $\det(XI - A)$ pour faire apparaître un facteur commun.

2.

Pour $B$ , on observera que la matrice est triangulaire par blocs, ce qui facilite grandement le calcul du polynôme caractéristique.

3.

Pour $C$ , le développement du déterminant $\det(XI - C)$ selon la première ligne conduit à une équation de la forme $X^4 + aX^2 + b = 0$ .

Idées clés

•

Calcul du polynôme caractéristique $\chi_M(X) = \det(XI - M)$ .

•

Critère de diagonalisabilité : $\chi_M$ est scindé et la dimension de chaque sous-espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre correspondante.

•

Résolution de systèmes linéaires pour trouver les vecteurs propres.

1. Étude de la matrice $A$

Calculons le polynôme caractéristique de $A$ :

\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X & -3 & -2 2 & X-5 & -2 -2 & 3 & X \end{vmatrix}

En effectuant l'opération $L_1 \leftarrow L_1 + L_3$ , on obtient :

\chi_A(X) = \begin{vmatrix} X-2 & 0 & X-2 2 & X-5 & -2 -2 & 3 & X \end{vmatrix} = (X-2) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 2 & X-5 & -2 -2 & 3 & X \end{vmatrix}

Puis avec $C_3 \leftarrow C_3 - C_1$ :

\chi_A(X) = (X-2) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 2 & X-5 & -4 -2 & 3 & X+2 \end{vmatrix} = (X-2) \left[ (X-5)(X+2) + 12 \right]

\chi_A(X) = (X-2)(X^2 - 3X + 2) = \boxed{(X-1)(X-2)^2}

Les valeurs propres sont $1$ (simple) et $2$ (double).

Cherchons le sous-espace propre $E_2(A) = \ker(A - 2I)$ :

A - 2I = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 2 -2 & 3 & 2 2 & -3 & -2 \end{pmatrix}

Cette matrice est clairement de rang $1$ . D'après le théorème du rang, $\dim E_2(A) = 3 - 1 = 2$ .

La dimension de $E_2(A)$ est égale à sa multiplicité. La matrice $A$ est donc diagonalisable.

Pour $E_2(A)$ , une base est formée par $v_1 = (1, 0, 1)^T$ et $v_2 = (3, 2, 0)^T$ .

Pour $E_1(A)$ , on résout $(A-I)X=0$ et on trouve $v_3 = (1, 1, -1)^T$ .

2. Étude de la matrice $B$

La matrice $B$ possède une structure triangulaire par blocs :

B = \begin{pmatrix} 2 & \begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix} \begin{matrix} 0 0 \end{matrix} & \begin{pmatrix} 0 & -2 1 & 3 \end{pmatrix} \end{pmatrix}

Le polynôme caractéristique est donc :

\chi_B(X) = (X-2) \begin{vmatrix} X & 2 -1 & X-3 \end{vmatrix} = (X-2)(X^2 - 3X + 2) = \boxed{(X-1)(X-2)^2}

Déterminons $E_2(B) = \ker(B-2I)$ :

B - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 0 & -2 & -2 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Le rang est $1$ , donc $\dim E_2(B) = 2$ . $B$ est diagonalisable.

Une base de $E_2(B)$ est $u_1 = (1, 0, 0)^T$ et $u_2 = (0, 1, -1)^T$ .

Pour $E_1(B) = \ker(B-I)$ , on trouve après résolution $u_3 = (1, -2, 1)^T$ .

3. Étude de la matrice $C$

Calculons $\chi_C(X) = \det(XI - C)$ :

\chi_C(X) = \begin{vmatrix} X & -1 & 0 & 0 -3 & X & -2 & 0 0 & -2 & X & -3 0 & 0 & -1 & X \end{vmatrix}

Développons par rapport à la première ligne :

\chi_C(X) = X \begin{vmatrix} X & -2 & 0 -2 & X & -3 0 & -1 & X \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -3 & -2 & 0 0 & X & -3 0 & 0 & X \end{vmatrix} \text{ (Attention : erreur ici, reprenons)}

Le second mineur est $\begin{vmatrix} -3 & -2 & 0 0 & X & -3 0 & -1 & X \end{vmatrix}$ .

\chi_C(X) = X \left( X(X^2-3) - (-2)(-2X) \right) + 1 \left( -3(X^2-3) \right)

\chi_C(X) = X(X^3 - 7X) - 3X^2 + 9 = X^4 - 10X^2 + 9

En posant $Y = X^2$ , on résout $Y^2 - 10Y + 9 = 0$ , d'où $Y=1$ ou $Y=9$ .

Les valeurs propres sont $\{-3, -1, 1, 3\}$ .

Comme $C \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})$ possède 4 valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable.

\boxed{\text{Sp}(C) = \{-3, -1, 1, 3\}}

En résolvant le système $(C - \lambda I)X = 0$ , on obtient les vecteurs propres :

Pour $\lambda = 3$ : $w_1 = (1, 3, 3, 1)^T$ .
Pour $\lambda = 1$ : $w_2 = (1, 1, -1, -1)^T$ .
Pour $\lambda = -1$ : $w_3 = (1, -1, -1, 1)^T$ .
Pour $\lambda = -3$ : $w_4 = (1, -3, 3, -1)^T$ .

Pour la matrice $B$ , ne pas oublier de vérifier la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre double $2$ . Le fait qu'elle soit triangulaire par blocs donne les valeurs propres, mais pas directement la diagonalisabilité.