Condition de diagonalisabilité via une puissance

Soient $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ une matrice carrée et $p$ un entier naturel non nul.

Montrer que la matrice $M$ est diagonalisable si et seulement si les deux conditions suivantes sont simultanément vérifiées :

$M^{p}$ est diagonalisable.
$\operatorname{Ker} M = \operatorname{Ker} M^{p}$ .

1.

Pour le sens direct, utiliser la caractérisation de la diagonalisabilité par l'existence d'une base de vecteurs propres et observer l'effet de l'élévation à la puissance $p$ sur les valeurs propres.

2.

Pour le sens réciproque, utiliser la décomposition de $\mathbb{C}^n$ en somme directe des sous-espaces propres de $M^p$ .

3.

Étudier la restriction de l'endomorphisme associé à $M$ sur chaque sous-espace propre de $M^p$ , en distinguant le cas de la valeur propre nulle.

Idées clés

•

Stabilité des sous-espaces propres par un endomorphisme qui commute.

•

Caractérisation polynomiale de la diagonalisabilité (polynôme annulateur scindé à racines simples).

•

Lien entre l'égalité des noyaux $\operatorname{Ker} u = \operatorname{Ker} u^p$ et la restriction de l'endomorphisme au noyau de sa puissance.

Sens direct ( $\implies$ ) :

Supposons que $M$ soit diagonalisable.

Il existe donc une matrice inversible $P \in GL_n(\mathbb{C})$ et une matrice diagonale $D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ telles que :

M = PDP^{-1}

En élevant à la puissance $p$ , on obtient immédiatement :

M^p = PD^pP^{-1}

Comme $D^p = \operatorname{diag}(\lambda_1^p, \dots, \lambda_n^p)$ est diagonale, la matrice $M^p$ est diagonalisable. La condition (1) est donc vérifiée.

Pour la condition (2), considérons le noyau. Pour toute matrice $A$ , on a l'inclusion $\operatorname{Ker} A \subset \operatorname{Ker} A^p$ .

Soit $X \in \operatorname{Ker} M^p$ . Alors $M^p X = 0$ , ce qui équivaut à $PD^pP^{-1}X = 0$ , soit $D^p(P^{-1}X) = 0$ .

En notant $Y = P^{-1}X$ , on a $D^p Y = 0$ , donc pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ , $\lambda_i^p y_i = 0$ .

Ceci implique que $\lambda_i y_i = 0$ pour tout $i$ , d'où $DY = 0$ .

On en déduit $P D P^{-1} X = 0$ , c'est-à-dire $MX = 0$ . Ainsi $\operatorname{Ker} M^p \subset \operatorname{Ker} M$ .

Par double inclusion, nous avons :

\boxed{\operatorname{Ker} M = \operatorname{Ker} M^p}

Sens réciproque ( $\impliedby$ ) :

Supposons que $M^p$ soit diagonalisable et que $\operatorname{Ker} M = \operatorname{Ker} M^p$ .

Soit $u$ l'endomorphisme de $E = \mathbb{C}^n$ canoniquement associé à $M$ . Puisque $u^p$ est diagonalisable, l'espace $E$ est la somme directe des sous-espaces propres de $u^p$ :

E = \bigoplus_{\mu \in \operatorname{Sp}(u^p)} \operatorname{Ker}(u^p - \mu \operatorname{id}_E)

Notons $V_\mu = \operatorname{Ker}(u^p - \mu \operatorname{id}_E)$ . Comme $u$ et $u^p$ commutent, chaque sous-espace $V_\mu$ est stable par $u$ .

Il suffit de montrer que la restriction de $u$ à chaque $V_\mu$ est diagonalisable pour conclure que $u$ est diagonalisable sur $E$ .

Cas 1 : $\mu \neq 0$

Soit $u_\mu$ la restriction de $u$ à $V_\mu$ . Par définition de $V_\mu$ , on a $u_\mu^p = \mu \operatorname{id}_{V_\mu}$ .

Le polynôme $P(X) = X^p - \mu$ est donc un polynôme annulateur de $u_\mu$ .

Puisque $\mu \neq 0$ et que nous travaillons sur $\mathbb{C}$ , le polynôme $X^p - \mu$ possède $p$ racines complexes distinctes.

Le polynôme annulateur $P$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ , donc :

\boxed{u_{|V_\mu} \text{ est diagonalisable}}

Cas 2 : $\mu = 0$ (si $0$ est valeur propre de $u^p$ )

Le sous-espace associé est $V_0 = \operatorname{Ker}(u^p)$ .

Par l'hypothèse (2), on sait que $\operatorname{Ker}(u^p) = \operatorname{Ker}(u)$ .

Par conséquent, pour tout $x \in V_0$ , on a $u(x) = 0$ .

La restriction $u_{|V_0}$ est donc l'endomorphisme nul.

L'endomorphisme nul étant diagonalisable, on en déduit que :

\boxed{u_{|V_0} \text{ est diagonalisable}}

Conclusion :

L'endomorphisme $u$ est diagonalisable sur chaque sous-espace d'une somme directe qui supplée $E$ .

\boxed{M \text{ est diagonalisable}}

L'erreur classique consiste à oublier de traiter séparément le cas de la valeur propre nulle. Pour $\mu \neq 0$ , le polynôme $X^p - \mu$ est toujours à racines simples, mais pour $\mu = 0$ , le polynôme est $X^p$ , qui a une racine multiple (0) d'ordre $p$ si $p > 1$ . C'est ici que l'hypothèse sur les noyaux intervient de façon cruciale.