Diagonalisabilité et puissances de matrices

Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $k \in \mathbb{N}^*$ . On considère une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

On suppose dans cette question que $A$ est inversible. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si sa puissance $A^k$ est diagonalisable.
On ne suppose plus $A$ inversible. Le résultat précédent (l'équivalence) demeure-t-il vrai ? On pourra traiter séparément les deux sens de l'implication.

1.

Pour le sens direct, utiliser la définition avec la base de vecteurs propres ou la forme $A = PDP^{-1}$ .

2.

Pour le sens réciproque, si $A^k$ est diagonalisable, il existe un polynôme annulateur de $A^k$ à racines simples. En déduire un polynôme annulateur de $A$ .

3.

Pour la question 2, étudier le cas des matrices nilpotentes non nulles pour trouver un contre-exemple.

Idées clés

•

Caractérisation par les polynômes annulateurs à racines simples.

•

Stabilité de la diagonalisabilité par passage à la puissance.

•

Analyse de la multiplicité des racines de $X^k - \lambda$ selon la valeur de $\lambda$ .

Résolution.

Supposons $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ .
Sens direct ( $\implies$ ) : Si $A$ est diagonalisable, il existe $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ et $D = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ tels que :
$A = PDP^{-1}$
En élevant à la puissance $k$ , on obtient par récurrence immédiate :
$A^k = (PDP^{-1})^k = PD^kP^{-1}$
Comme $D^k = \text{diag}(\lambda_1^k, \dots, \lambda_n^k)$ est une matrice diagonale, $A^k$ est semblable à une matrice diagonale.
$\boxed{A \text{ est diagonalisable} \implies A^k \text{ est diagonalisable}}$
Sens réciproque ( $\impliedby$ ) : Supposons $A^k$ diagonalisable. Soient $\mu_1, \dots, \mu_r$ les valeurs propres distinctes de $A^k$ . Puisque $A$ est inversible, $A^k$ l'est aussi, donc $0$ n'est pas valeur propre de $A^k$ . Ainsi, pour tout $j \in \{1, \dots, r\}$ , $\mu_j \neq 0$ .
Le polynôme minimal de $A^k$ , noté $\pi_{A^k}$ , est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ et s'écrit :
$\pi_{A^k}(X) = \prod_{j=1}^r (X - \mu_j)$
On a $\pi_{A^k}(A^k) = 0$ , donc la matrice $A$ est annulée par le polynôme $Q$ défini par :
$Q(X) = \pi_{A^k}(X^k) = \prod_{j=1}^r (X^k - \mu_j)$
Étudions les racines de $Q$ . Pour chaque $j$ , l'équation $z^k = \mu_j$ possède $k$ solutions distinctes dans $\mathbb{C}$ car $\mu_j \neq 0$ . Ces racines sont de la forme $z_{j,m} = \rho_j e^{i(\theta_j + 2m\pi)/k}$ pour $m \in \{0, \dots, k-1\}$ .
Si deux racines $z_{j,m}$ et $z_{j',m'}$ sont égales, alors leurs puissances $k$ -ièmes sont égales, donc $\mu_j = \mu_{j'}$ . Comme les $\mu_j$ sont distincts, on a $j = j'$ , puis $m = m'$ par unicité des racines $k$ -ièmes.
Ainsi, $Q$ est un polynôme scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ qui annule $A$ . D'après le critère de diagonalisabilité polynomial :
$\boxed{A^k \text{ diagonalisable et } A \text{ inversible} \implies A \text{ diagonalisable}}$
Analyse du cas non inversible.
Le sens direct ( $\implies$ ) reste toujours vrai : si $A$ est diagonalisable, $A^k$ l'est, que $A$ soit inversible ou non. En revanche, le sens réciproque ( $\impliedby$ ) est faux. Considérons la matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}$ . On remarque que :
$A \neq 0 \text{et} A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 0 & 0 \end{pmatrix}$
Pour $k=2$ , la matrice $A^2$ est la matrice nulle, qui est trivialement diagonalisable. Cependant, $A$ est une matrice nilpotente non nulle. Son unique valeur propre est $0$ . Si $A$ était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice nulle, donc elle serait nulle, ce qui est absurde.

$\boxed{\text{La réciproque est fausse si } A \text{ n'est pas inversible.}}$

L'erreur classique est d'oublier de justifier que les racines du polynôme $Q(X) = \prod (X^k - \mu_j)$ sont simples. Cela repose crucialement sur le fait que les $\mu_j$ sont non nuls. Si l'un des $\mu_j$ est nul (cas de la matrice non inversible), $X^k$ possède une racine multiple ( $0$ ) d'ordre $k > 1$ .