Réduction d'une matrice de rang 2

Soit $n \geq 3$ . On considère la matrice $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ définie par :

a_{i,j} = \begin{cases} i & \text{si } j=n \text{ et } 1 \leq i < n j & \text{si } i=n \text{ et } 1 \leq j < n n & \text{si } i=j=n 0 & \text{sinon} \end{cases}

Cette matrice présente la structure suivante :

A = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \vdots & \ddots & \vdots & \vdots 0 & \cdots & 0 & n-1 1 & \cdots & n-1 & n \end{pmatrix}

Déterminer le rang de $A$ et donner une base de son image $\operatorname{Im}(A)$ .
Justifier que $0$ est valeur propre de $A$ . Préciser la dimension et une base du sous-espace propre associé $E_0(A)$ .
Montrer que le sous-espace $F = \operatorname{Im}(A)$ est stable par l'endomorphisme canoniquement associé à $A$ .
En étudiant la restriction de cet endomorphisme à $F$ , déterminer les valeurs propres non nulles de $A$ . On montrera qu'elles sont racines d'une équation de degré 2 que l'on précisera.

1.

Pour le rang, observer les relations de colinéarité entre les $n-1$ premières colonnes.

2.

Le théorème du rang permet d'obtenir immédiatement la dimension du noyau.

3.

Un vecteur propre associé à une valeur propre non nulle appartient nécessairement à l'image de la matrice.

4.

Calculer la trace et le déterminant de la restriction à l'image (ou son polynôme caractéristique) en utilisant une base de $F$ .

Idées clés

•

Utilisation de la structure de rang 2 pour réduire l'étude à un plan stable.

•

Lien entre $\operatorname{Im}(A)$ et les vecteurs propres pour $\lambda \neq 0$ .

•

Somme des carrés : $\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ .

Résolution.

Notons $(C_1, \dots, C_n)$ les colonnes de $A$ . On remarque que pour tout $j \in \{1, \dots, n-1\}$ , $C_j = j E_n$ , où $E_n$ est le $n$ -ième vecteur de la base canonique. Toutes ces colonnes sont donc colinéaires à $E_n$ . En revanche, la colonne $C_n = (1, 2, \dots, n-1, n)^T$ n'est pas colinéaire à $E_n$ car $n \geq 2$ . L'image de $A$ est engendrée par les colonnes, donc : $\operatorname{Im}(A) = \operatorname{Vect}(C_1, \dots, C_n) = \operatorname{Vect}(E_n, C_n)$ Comme $(E_n, C_n)$ est une famille libre (non proportionnelle), on en déduit : $\boxed{\operatorname{rg}(A) = 2 \text{et} \mathcal{B}_F = (f_1, f_2) \text{ est une base de } \operatorname{Im}(A)}$ avec $f_1 = E_n = (0, \dots, 0, 1)^T$ et $f_2 = \sum_{i=1}^{n-1} i E_i = (1, 2, \dots, n-1, 0)^T$ .
D'après le théorème du rang, $\dim \operatorname{ker}(A) = n - \operatorname{rg}(A) = n-2$ . Puisque $n \geq 3$ , $\dim \operatorname{ker}(A) \geq 1$ , donc $0$ est valeur propre. Les $n-1$ premières colonnes vérifiant $C_j = j E_n$ , on a $C_j - \frac{j}{1} C_1 = 0$ pour $j \in \{2, \dots, n-1\}$ . Ainsi, les vecteurs $u_j = j E_1 - 1 E_j$ pour $j \in \{2, \dots, n-1\}$ sont dans le noyau. $\boxed{\mathcal{B}_0 = \left( 2e_1 - e_2, 3e_1 - e_3, \dots, (n-1)e_1 - e_{n-1} \right) \text{ forme une base de } E_0(A)}$
Soit $x \in \operatorname{Im}(A)$ . Alors il existe $y$ tel que $x = Ay$ . On a alors $Ax = A(Ay) \in \operatorname{Im}(A)$ par définition de l'image. L'image de tout endomorphisme est toujours stable par celui-ci.
Soit $\lambda \neq 0$ une valeur propre et $x$ un vecteur propre associé. Alors $Ax = \lambda x \implies x = A(\frac{1}{\lambda} x) \in \operatorname{Im}(A)$ . On étudie donc la restriction de l'endomorphisme à $F = \operatorname{Im}(A)$ . Utilisons la base $\mathcal{B}_F = (f_1, f_2)$ définie en question 1. Calculons les images : $A f_1 = C_n = f_2 + n f_1$ $A f_2 = A \left( \sum_{j=1}^{n-1} j E_j \right) = \sum_{j=1}^{n-1} j (A E_j) = \sum_{j=1}^{n-1} j (j E_n) = \left( \sum_{j=1}^{n-1} j^2 \right) f_1$ La matrice de la restriction dans la base $(f_1, f_2)$ est : $M_F = \begin{pmatrix} n & \sigma 1 & 0 \end{pmatrix} \text{où} \sigma = \sum_{j=1}^{n-1} j^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ Les valeurs propres non nulles sont les racines du polynôme caractéristique de $M_F$ : $\chi_{M_F}(\lambda) = \det(\lambda I_2 - M_F) = \lambda(\lambda - n) - \sigma = \lambda^2 - n\lambda - \sigma$ En remplaçant $\sigma$ et en multipliant par $6$ , on obtient l'équation : $\boxed{6\lambda^2 - 6n\lambda - n(n-1)(2n-1) = 0}$

Ne pas oublier que l'image est stable, mais que les vecteurs propres ne sont pas forcément dans l'image si la valeur propre est nulle. Pour $\lambda \neq 0$ , l'inclusion $E_\lambda \subset \operatorname{Im}(A)$ est en revanche automatique.