Réduction d'une matrice de rang deux

Soit $n \geq 3$ un entier naturel et $(a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{C}^n$ . On considère la matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ définie par :

M = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_1 \vdots & (0) & \vdots & \vdots 0 & \cdots & 0 & a_{n-1} a_1 & \cdots & a_{n-1} & a_n \end{pmatrix}

Déterminer le rang de la matrice $M$ . En déduire la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre $0$ .
On suppose qu'il existe $i \in \{1, \ldots, n-1\}$ $i \in {1, \dots, n - 1}$ tel que $a_i \neq 0$ $a_{i} \neq = 0$ .
1. Montrer que l'image de $M$ est un sous-espace vectoriel stable par l'endomorphisme canoniquement associé à $M$ .
2. En calculant la matrice de la restriction de cet endomorphisme à son image, déterminer les valeurs propres non nulles de $M$ .
On pose $S = \sum_{i=1}^{n-1} a_i^2$ . Donner une condition nécessaire et suffisante sur les paramètres $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ pour que la matrice $M$ soit diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .
Applications :
1. On prend $a_i = 1$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$ . La matrice est-elle diagonalisable ?
2. On prend $a_i = i$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n-1\}$ et $a_n = n$ . Déterminer le polynôme caractéristique de $M$ .
3. Que se passe-t-il si l'on remplace le coefficient $a_n$ par $2a_n$ dans la définition de $M$ ?

1.

Pour le rang, observer les colonnes de la matrice. Le noyau se déduit par le théorème du rang.

2.

Pour la stabilité de l'image, calculer $M X$ pour un vecteur de la base de $\text{Im}(M)$ .

3.

La restriction de $M$ à $\text{Im}(M)$ est un endomorphisme en dimension 2. Son polynôme caractéristique donne les valeurs propres restantes.

4.

Une matrice est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à $n$ .

Idées clés

•

Étude de la restriction à un sous-espace stable (l'image).

•

Lien entre multiplicité des racines du polynôme caractéristique et dimension des sous-espaces propres.

•

Utilisation du rang pour minorer la dimension du noyau.

Résolution.

Les $n-1$ premières colonnes de $M$ sont colinéaires au vecteur $e_n$ de la base canonique. La dernière colonne est $\sum_{i=1}^{n-1} a_i e_i + a_n e_n$ . L'image de $M$ est donc engendrée par ces deux vecteurs : $\text{Im}(M) = \text{Vect}\left( e_n, \sum_{i=1}^{n-1} a_i e_i \right)$ Si tous les $a_i$ sont nuls pour $i < n$ , le rang est 1 (si $a_n \neq 0$ ) ou 0 (si $a_n = 0$ ). Sinon, les deux vecteurs générateurs sont libres et le rang est 2. Par le théorème du rang, la dimension du noyau (sous-espace propre associé à 0) est : $\boxed{\dim E_0(M) = n - \text{rg}(M)}$
1. Soit $f$ l'endomorphisme associé à $M$ . L'image $\text{Im}(f)$ est toujours stable par $f$ . En effet, pour tout $y \in \text{Im}(f)$ , il existe $x \in E$ tel que $y = f(x)$ , donc $f(y) = f(f(x)) \in \text{Im}(f)$ .
2. Notons $v = \sum_{i=1}^{n-1} a_i e_i$ . On a $f(e_n) = v + a_n e_n$ et $f(e_i) = a_i e_n$ pour $i < n$ . Ainsi, $f(v) = \sum_{i=1}^{n-1} a_i f(e_i) = \sum_{i=1}^{n-1} a_i^2 e_n = S e_n$ . Dans la base $(e_n, v)$ de $\text{Im}(f)$ , la matrice de la restriction est : $M' = \begin{pmatrix} a_n & S 1 & 0 \end{pmatrix}$ Le polynôme caractéristique de cette restriction est $P(X) = X^2 - a_n X - S$ . Les valeurs propres de $M$ sont les racines de ce polynôme (valeurs propres dans l'image) et $0$ .
Soit $\Delta = a_n^2 + 4S$ le discriminant de $X^2 - a_n X - S$ . Cas 1 : $S \neq 0$ . Le rang est 2, $\dim E_0 = n-2$ . $M$ est diagonalisable ssi la restriction à l'image est diagonalisable, car les valeurs propres de la restriction sont alors non nulles (produit des racines $-S \neq 0$ ). C'est le cas si et seulement si $\Delta \neq 0$ . Cas 2 : $S = 0$ . Les racines sont $0$ et $a_n$ . Si $a_n \neq 0$ , 0 est de multiplicité $n-1$ . $M$ est diag ssi $\dim E_0 = n-1 \iff \text{rg}(M) = 1 \iff \forall i < n, a_i = 0$ . Si $a_n = 0$ , 0 est seule valeur propre. $M$ est diag ssi $M=0$ . Conclusion : $\boxed{M \text{ est diag. ssi } (a_n^2 + 4S \neq 0 \text{ et } S \neq 0) \text{ ou } (a_1 = \dots = a_{n-1} = 0)}$
1. Ici $S = n-1$ et $a_n = 1$ . $\Delta = 1 + 4(n-1) = 4n-3$ . Comme $n \geq 3$ , $S \neq 0$ et $\Delta > 0$ , donc $M$ est diagonalisable.
2. Pour $a_i = i$ , on a $S = \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ . Le polynôme caractéristique est : $\boxed{\chi_M(X) = X^{n-2} \left( X^2 - nX - \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} \right)}$
3. Remplacer $a_n$ par $2a_n$ revient simplement à substituer $a_n$ dans les formules précédentes. L'équation devient $X^2 - 2a_n X - S = 0$ .

Attention au cas $S = 0$ sur $\mathbb{C}$ . Si $S=0$ , une valeur propre est nulle, ce qui "augmente" la multiplicité de 0. Il faut alors comparer la multiplicité algébrique avec $n-\text{rg}(M)$ .