Diagonalisation d'un endomorphisme de l'espace matriciel

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathbb{K}$ un corps ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). On considère deux matrices non nulles $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ . On définit l'application $u$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ par :

\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}),   u(M) = M + \operatorname{Tr}(AM)B

Montrer que $u$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .
À l'aide du calcul de $(u-\operatorname{Id})^2$ , déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les matrices $A$ et $B$ pour que l'endomorphisme $u$ soit diagonalisable.

1.

Introduire l'endomorphisme auxiliaire $v = u - \operatorname{Id}$ défini par $v(M) = \operatorname{Tr}(AM)B$ .

2.

Remarquer que l'image de $v$ est incluse dans $\operatorname{Vect}(B)$ . L'endomorphisme $v$ est donc de rang au plus 1.

3.

Calculer $v^2(M)$ pour tout $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et en déduire un polynôme annulateur de $v$ .

4.

Utiliser le fait qu'un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

Idées clés

•

Étude d'un endomorphisme de rang 1 : $v(M) = L(M)B$ où $L$ est une forme linéaire.

•

Lien entre la diagonalisabilité de $u$ et celle de $v = u - \operatorname{Id}$ .

•

Utilisation d'un polynôme annulateur de second degré.

Résolution.

Soient $M, N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $\lambda \in \mathbb{K}$ . Par linéarité de la trace : $\operatorname{Tr}(A(\lambda M + N)) = \lambda \operatorname{Tr}(AM) + \operatorname{Tr}(AN)$ On en déduit : $u(\lambda M + N) = (\lambda M + N) + [\lambda \operatorname{Tr}(AM) + \operatorname{Tr}(AN)]B$ En réorganisant les termes : $u(\lambda M + N) = \lambda (M + \operatorname{Tr}(AM)B) + (N + \operatorname{Tr}(AN)B) = \lambda u(M) + u(N)$ L'application $u$ est donc bien un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ .
Posons $v = u - \operatorname{Id}$ . On remarque que $u$ est diagonalisable si et seulement si $v$ l'est. Pour tout $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , on a $v(M) = \operatorname{Tr}(AM)B$ . Calculons $v^2(M)$ : $v^2(M) = v(v(M)) = v(\operatorname{Tr}(AM)B)$ Par linéarité de $v$ (ou car $\operatorname{Tr}(AM)$ est un scalaire) : $v^2(M) = \operatorname{Tr}(AM) v(B) = \operatorname{Tr}(AM) \operatorname{Tr}(AB)B$ En identifiant avec l'expression de $v(M)$ , on obtient : $\boxed{v^2 = \operatorname{Tr}(AB) v}$
L'endomorphisme $v$ annule donc le polynôme $P(X) = X^2 - \operatorname{Tr}(AB)X = X(X - \operatorname{Tr}(AB))$ .
Premier cas : $\operatorname{Tr$ (AB) \neq 0 $Tr (A B) \neq = 0$ .} Le polynôme $P$ est scindé à racines simples ( $0$ et $\operatorname{Tr}(AB)$ ) dans $\mathbb{K}$ . D'après le critère de diagonalisation par les polynômes annulateurs, $v$ est diagonalisable. Par conséquent, $u$ est diagonalisable.
Second cas : $\operatorname{Tr$ (AB) = 0 $Tr (A B) = 0$ .} Le polynôme annulateur devient $P(X) = X^2$ . $v$ est alors un endomorphisme nilpotent. Un endomorphisme nilpotent est diagonalisable si et seulement s'il est nul. Or, $v = 0$ signifie que pour tout $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , $\operatorname{Tr}(AM)B = 0$ . Comme $B \neq 0$ par hypothèse, cela implique $\operatorname{Tr}(AM) = 0$ pour tout $M$ . Ceci n'est possible que si $A=0$ (propriété classique de la forme bilinéaire $(X,Y) \mapsto \operatorname{Tr}(XY)$ ). Comme $A \neq 0$ et $B \neq 0$ , on en déduit que $v \neq 0$ . Ainsi, si $\operatorname{Tr}(AB) = 0$ , $v$ n'est pas diagonalisable, donc $u$ ne l'est pas non plus.
Conclusion :
$\boxed{u \text{ est diagonalisable si et seulement si } \operatorname{Tr}(AB) \neq 0}$

Ne pas oublier de traiter le cas où le polynôme $X^2$ possède une racine double (en $0$ ). Un argument de nilpotence est alors plus rapide que de chercher le spectre.