Étude de la symétrie antidiagonale

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère la matrice $M \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})$ définie par $M = (\delta_{i+j, n+2})_{1 \le i, j \le n+1}$ . On lui associe l'application $f$ sur $\mathbb{R}_n[X]$ qui à un polynôme $P$ associe $f(P) = X^n P\left(\frac{1}{X}\right)$ .

1. Justifier que $M$ est la matrice de $f$ dans la base canonique $(1, X, \dots, X^n)$ .
2. Calculer le déterminant de $M$ .
Montrer que $f$ est une symétrie de $\mathbb{R}_n[X]$ . En déduire que $M$ est diagonalizable.
Déterminer le spectre de $f$ ainsi que les sous-espaces propres associés. On pourra les décrire à l'aide de relations sur les coefficients des polynômes ou d'une base explicite.
On suppose dans cette question que $n = 2m-1$ est impair. Montrer que $M$ est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme : $\operatorname{diag}(S, S, \dots, S) = \begin{pmatrix} S & & (0) & \ddots & (0) & & S \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2m}(\mathbb{R}) \text{où} S = \begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 \end{pmatrix}$

1.

Pour le déterminant, utiliser des permutations de colonnes ou une relation de récurrence.

2.

Pour la symétrie, calculer $f(f(P))$ en revenant à la définition.

3.

Pour les sous-espaces propres, un polynôme $P$ vérifie $f(P) = P$ si et seulement si ses coefficients sont symétriques (polynômes palindromes).

4.

Pour la structure par blocs, considérer la base $(1, X^n, X, X^{n-1}, \dots)$ .

Idées clés

•

Caractérisation des symétries : $f^2 = \text{Id}_E$ .

•

Lien entre coefficients et image par $f$ .

•

Utilisation d'une base adaptée pour la réduction par blocs.

Résolution.

1. Soit $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k$ . On a $f(P) = X^n \sum_{k=0}^n a_k X^{-k} = \sum_{k=0}^n a_k X^{n-k}$ . En posant $j = n-k$ , on obtient $f(P) = \sum_{j=0}^n a_{n-j} X^j$ . L'image de $X^k$ par $f$ est donc $X^{n-k}$ . La matrice $M$ possède des 1 uniquement sur la diagonale secondaire, ce qui correspond bien à $M_{i,j} = 1$ si $i = (n+1) - j + 1$ , soit $i+j = n+2$ .
2. Le déterminant de $M$ est celui d'une matrice de permutation. On effectue $\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor$ échanges de colonnes pour obtenir l'identité. $\boxed{\det(M) = (-1)^{\frac{n(n+1)}{2}}}$
Soit $P \in \mathbb{R}_n[X]$ . On a $f(P)(X) = X^n P(1/X)$ . Alors $f(f(P))(X) = X^n (f(P))(1/X) = X^n \left( (1/X)^n P(X) \right) = P(X)$ . Ainsi, $f^2 = \text{Id}$ . L'endomorphisme $f$ est une symétrie. $\boxed{M^2 = I_{n+1}}$ Le polynôme $X^2 - 1 = (X-1)(X+1)$ est un polynôme annulateur de $M$ , scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$ . Donc $M$ est diagonalizable.
Puisque $f^2 = \text{Id}$ , le spectre de $f$ est inclus dans $\{-1, 1\}$ . Comme $f(1+X^n) = 1+X^n$ et $f(1-X^n) = -(1-X^n)$ , les deux valeurs sont atteintes. $\boxed{\text{Sp}(f) = \{1, -1\}}$ Les sous-espaces propres sont $E_1 = \ker(f - \text{Id})$ et $E_{-1} = \ker(f + \text{Id})$ . Un polynôme $P = \sum a_k X^k$ est dans $E_1$ ssi $a_k = a_{n-k}$ pour tout $k$ . Une base est : $\boxed{\mathcal{B}_1 = (X^k + X^{n-k})_{0 \le k < n/2} \cup \{X^{n/2} \text{ si } n \text{ est pair}\}}$ Un polynôme $P$ est dans $E_{-1}$ ssi $a_k = -a_{n-k}$ . Une base est : $\boxed{\mathcal{B}_{-1} = (X^k - X^{n-k})_{0 \le k < n/2}}$
Si $n = 2m-1$ , l'espace est de dimension $2m$ . On considère la base ordonnée suivante : $\mathcal{B} = (1, X^n, X, X^{n-1}, \dots, X^{m-1}, X^m)$ Puisque $f(1) = X^n$ et $f(X^n) = 1$ , la matrice de $f$ restreinte au plan $\text{Vect}(1, X^n)$ est $S = \begin{pmatrix} 0 & 1 1 & 0 \end{pmatrix}$ . En répétant ce raisonnement sur chaque paire $(X^k, X^{n-k})$ , la matrice de $f$ dans $\mathcal{B}$ est : $\boxed{\text{Mat}_{\mathcal{B}}(f) = \operatorname{diag}(S, \dots, S)}$

Attention à l'indice de la dimension : pour un polynôme de degré $n$ , l'espace est de dimension $n+1$ . Cela influe sur le calcul du déterminant et la parité.