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Diagonalisation de l'endomorphisme de transposition

transpositioninvolutionmatrices symétriquesmatrices antisymétriquespolynôme caractéristiquePolynôme annulateurDimension de sous-espacesSomme directe

Soit n∈N∗n \in \mathbb{N}^* et K\mathbb{K} un corps de caractéristique différente de 2. On considère l'application φ\varphi définie par :

φ:Mn(K)→Mn(K)M↦tM\begin{array}{cccc} \varphi : & \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) & \rightarrow & \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})
& M & \mapsto & {}^{t}M \end{array}

  1. Justifier que φ\varphi est un endomorphisme de Mn(K)\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}) et qu'il est diagonalisable.
  2. Déterminer les éléments propres de φ\varphi (valeurs propres et sous-espaces propres associés).
  3. En déduire l'expression du polynôme caractéristique de φ\varphi.

1.

Remarquer que φ\varphi est une involution, c'est-à-dire que φ∘φ=IdE\varphi \circ \varphi = \text{Id}_{E}.

2.

Utiliser un polynôme annulateur simple de φ\varphi pour en déduire sa diagonalisabilité.

3.

Faire le lien entre les équations aux valeurs propres MT=MM^T = M et MT=−MM^T = -M avec les familles de matrices classiques.

4.

Pour le polynôme caractéristique, utiliser les dimensions des sous-espaces propres.

Idées clés

•

Propriété des involutions (φ2=Id\varphi^2 = \text{Id}) et lien avec la diagonalisation.

•

Structure de l'espace des matrices comme somme directe des matrices symétriques et antisymétriques.

•

Relation entre multiplicités des racines du polynôme caractéristique et dimensions des sous-espaces propres pour un endomorphisme diagonalisable.

Résolution.

  1. Linéarité et diagonalisabilité. La linéarité de la transposition est une propriété classique : pour tous A,B∈Mn(K)A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) et tout λ∈K\lambda \in \mathbb{K}, on a t(λA+B)=λtA+tB{}^t(\lambda A + B) = \lambda {}^t A + {}^t B. Ainsi, φ\varphi est bien un endomorphisme de l'espace vectoriel Mn(K)\mathcal{M}_n(\mathbb{K}). De plus, pour toute matrice MM, on a φ(φ(M))=t(tM)=M\varphi(\varphi(M)) = {}^t({}^t M) = M. Par conséquent :
    φ2=IdMn(K)\varphi^2 = \text{Id}_{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}
    Le polynôme P(X)=X2−1P(X) = X^2 - 1 est donc un polynôme annulateur de φ\varphi. Comme la caractéristique de K\mathbb{K} est différente de 2, on peut factoriser ce polynôme dans K[X]\mathbb{K}[X] :
    P(X)=(X−1)(X+1)P(X) = (X-1)(X+1)
    Ce polynôme est scindé à racines simples sur K\mathbb{K} (car 1≠−11 \neq -1 dans K\mathbb{K} puisque 2⋅1≠02 \cdot 1 \neq 0).
    L’endomorphisme φ est donc diagonalisable.\boxed{\text{L'endomorphisme } \varphi \text{ est donc diagonalisable.}}

  2. Éléments propres. D'après le cours, le spectre de φ\varphi est inclus dans l'ensemble des racines de tout polynôme annulateur. On a donc Sp(φ)⊂{1,−1}\text{Sp}(\varphi) \subset \{1, -1\}. Étude de la valeur propre 1 : L'espace propre associé, E1(φ)E_1(\varphi), est défini par :
    E1(φ)={M∈Mn(K)∣tM=M}=Sn(K)E_1(\varphi) = \{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \mid {}^t M = M \} = \mathcal{S}_n(\mathbb{K})
    où Sn(K)\mathcal{S}_n(\mathbb{K}) est le sous-espace des matrices symétriques. On sait que :
    dim⁡(E1(φ))=n(n+1)2\boxed{ \dim(E_1(\varphi)) = \frac{n(n+1)}{2} }
    Étude de la valeur propre -1 : L'espace propre associé, E−1(φ)E_{-1}(\varphi), est défini par :
    E−1(φ)={M∈Mn(K)∣tM=−M}=An(K)E_{-1}(\varphi) = \{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \mid {}^t M = -M \} = \mathcal{A}_n(\mathbb{K})
    où An(K)\mathcal{A}_n(\mathbb{K}) est le sous-espace des matrices antisymétriques. On sait que :
    dim⁡(E−1(φ))=n(n−1)2\boxed{ \dim(E_{-1}(\varphi)) = \frac{n(n-1)}{2} }

    Comme la somme des dimensions de ces deux espaces est n(n+1)2+n(n−1)2=n2+n+n2−n2=n2=dim⁡(Mn(K))\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2+n+n^2-n}{2} = n^2 = \dim(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})), le spectre est exactement {1,−1}\{1, -1\} (si n≥2n \geq 2).

  3. Polynôme caractéristique. Puisque φ\varphi est diagonalisable, son polynôme caractéristique χφ\chi_\varphi est scindé et la multiplicité de chaque racine est égale à la dimension du sous-espace propre associé. D'après les résultats précédents :
    χφ(X)=(X−1)dim⁡(E1(φ))(X−(−1))dim⁡(E−1(φ))\chi_\varphi(X) = (X - 1)^{\dim(E_1(\varphi))} (X - (-1))^{\dim(E_{-1}(\varphi))}
    En remplaçant par les dimensions trouvées :
    χφ(X)=(X−1)n(n+1)2(X+1)n(n−1)2\boxed{ \chi_\varphi(X) = (X - 1)^{\frac{n(n+1)}{2}} (X + 1)^{\frac{n(n-1)}{2}} }

Attention à l'hypothèse sur la caractéristique du corps K\mathbb{K}. Si char(K)=2\text{char}(\mathbb{K}) = 2, alors 1=−11 = -1 et le polynôme X2−1=(X−1)2X^2 - 1 = (X-1)^2 n'est plus à racines simples. Dans ce cas, φ\varphi n'est pas diagonalisable (sauf pour n=1n=1).