Réduction de l'opérateur de retournement des polynômes

Soit $n \in \mathbb{N}$ et $E = \mathbb{K}_n[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ sur un corps $\mathbb{K}$ . On considère l'application $u$ définie par :

u : P \longmapsto X^n P\left(\frac{1}{X}\right)

Montrer que $u$ est un endomorphisme de $E$ et calculer $u \circ u$ .
On suppose dans cette question que la caractéristique du corps $\mathbb{K}$ $K$ est différente de 2.
1. Justifier que $u$ est diagonalisable.
2. Déterminer les valeurs propres possibles de $u$ .
3. Pour chaque valeur propre, donner la dimension du sous-espace propre associé et en fournir une base.
On suppose désormais que $\text{car}(\mathbb{K}) = 2$ . L'endomorphisme $u$ est-il diagonalisable ?

1.

Pour $u^2$ , calculer explicitement $u(u(P))$ en utilisant la définition.

2.

Un endomorphisme $u$ tel que $u^2 = \text{Id}$ est une symétrie (ou involution). Utiliser le cours sur les polynômes annulateurs.

3.

Pour les vecteurs propres, examiner la relation sur les coefficients $a_k$ du polynôme $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k$ .

4.

En caractéristique 2, $1 = -1$ . Étudier si $u$ peut être l'identité.

Idées clés

•

Nature de l'application : symétrie vectorielle.

•

Critère polynomial de diagonalisation (racines simples).

•

Étude des coefficients pour les polynômes réciproques.

Résolution.

Soit $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k \in E$ . Alors : $u(P) = X^n \sum_{k=0}^n a_k \left(\frac{1}{X}\right)^k = \sum_{k=0}^n a_k X^{n-k}$ L'expression obtenue est une combinaison linéaire de $1, X, \dots, X^n$ , donc $u(P) \in E$ . La linéarité découle immédiatement de la définition. Calculons $u^2(P)$ pour tout $P \in E$ : $u(u(P)) = X^n \left[ \left( \frac{1}{X} \right)^n P\left( \frac{1}{1/X} \right) \right]$ En simplifiant les puissances de $X$ , on obtient : $u^2(P) = X^n \cdot \frac{1}{X^n} \cdot P(X) = P(X)$ On en déduit : $\boxed{ u \circ u = \text{Id}_E }$
On suppose $\text{car}(\mathbb{K}) \neq 2$ $car (K) \neq = 2$ .
1. D'après la question précédente, le polynôme $Q(X) = X^2 - 1$ est un polynôme annulateur de $u$ . Puisque $\text{car}(\mathbb{K}) \neq 2$ , les racines de $Q$ dans $\mathbb{K}$ (qui sont $1$ et $-1$ ) sont distinctes. $\boxed{ \text{$
2. Les valeurs propres de $u$ sont incluses dans l'ensemble des racines du polynôme annulateur $Q$ . Ainsi, $\text{Sp}(u) \subset \{1, -1\}$ . Notons que $u(1) = X^n$ et $u(X^n) = 1$ . Le polynôme $P(X) = 1 + X^n$ vérifie $u(P) = X^n + 1 = P$ , donc $1$ est valeur propre (sauf si $1+X^n=0$ , impossible pour $n \ge 1$ ). De même, $u(1-X^n) = X^n-1 = -(1-X^n)$ , donc $-1$ est valeur propre (pour $n \ge 1$ ).
3. Soit $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k$ . L'équation $u(P) = \lambda P$ équivaut à : $\forall k \in \{0, \dots, n\}, a_{n-k} = \lambda a_k$ Cas $\lambda = 1$ : On doit avoir $a_k = a_{n-k}$ . Le sous-espace propre $E_1$ est constitué des polynômes dits "réciproques". Une base est donnée par : $\mathcal{B}_1 = \{ X^k + X^{n-k} \mid 0 \le k < \frac{n}{k} \} \cup \{ X^{n/2} \text{ si } n \text{ est pair} \}$ La dimension de $E_1$ est $\boxed{ \dim E_1 = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor + 1 }$ . Cas $\lambda = -1$ : On doit avoir $a_{n-k} = -a_k$ . Le sous-espace propre $E_{-1}$ est constitué des polynômes "anti-réciproques". Une base est donnée par : $\mathcal{B}_{-1} = \{ X^k - X^{n-k} \mid 0 \le k < \frac{n}{2} \}$ La dimension de $E_{-1}$ est $\boxed{ \dim E_{-1} = \lceil \frac{n}{2} \rceil }$ . On vérifie bien que $\dim E_1 + \dim E_{-1} = (n+1) = \dim E$ .
Si $\text{car}(\mathbb{K}) = 2$ , alors $-1 = 1$ . Le polynôme annulateur devient $(X-1)^2$ . La seule valeur propre possible est $1$ . Si $u$ était diagonalisable, son polynôme minimal diviserait $X-1$ , ce qui impliquerait $u = \text{Id}_E$ . Or, $u(1) = X^n$ . Pour $n \ge 1$ , $X^n \neq 1$ . $\boxed{ \text{Pour } n \ge 1, \text{ si } \text{car}(\mathbb{K}) = 2, \text{ alors } u \text{ n'est pas diagonalisable.} }$

En caractéristique 2, l'argument du polynôme annulateur à racines simples échoue car $1$ est racine double de $X^2-1$ . Il ne faut pas oublier de traiter le cas $n=0$ où $u$ est toujours l'identité (et donc diagonalisable).