Étude géométrique d'une matrice d'ordre 3

Soient $u, v, w$ trois réels strictement positifs. On considère la matrice :

N = \begin{pmatrix} 1/3 & -2v/3u & -2w/3u -2u/3v & 1/3 & -2w/3v -2u/3w & -2v/3w & 1/3 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})

Montrer que $-1$ est valeur propre de $N$ et déterminer un vecteur propre associé.
Montrer que $1$ est valeur propre de $N$ et déterminer le sous-espace propre associé.
En déduire que $N$ est la matrice d'une symétrie vectorielle que l'on caractérisera.

1.

Pour la question 1, essayer un vecteur de la forme $(1/u, 1/v, 1/w)^T$ .

2.

Pour la question 2, résoudre $NX = X$ et chercher une équation de plan.

3.

Se rappeler qu'un endomorphisme $s$ est une symétrie si et seulement si son spectre est inclus dans $\{-1, 1\}$ et s'il est diagonalisable.

Idées clés

•

Recherche de valeurs propres par test de vecteurs simples.

•

Lien entre spectre et nature géométrique d'un endomorphisme.

•

Diagonalisabilité et décomposition de l'espace en somme directe de sous-espaces propres.

Résolution.

Soit $X_1 = \begin{pmatrix} 1/u 1/v 1/w \end{pmatrix}$ . Calculons $N X_1$ : $N X_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{3u} - \frac{2}{3u} - \frac{2}{3u} -\frac{2}{3v} + \frac{1}{3v} - \frac{2}{3v} -\frac{2}{3w} - \frac{2}{3w} + \frac{1}{3w} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/u -1/v -1/w \end{pmatrix} = -X_1$ On en déduit que $\boxed{-1 \in \text{Sp}(N)}$ et $E_{-1}(N) = \text{Vect}(X_1)$ .
Soit $X = \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix}$ . L'équation $NX = X$ équivaut à $(N - I)X = 0$ : $\begin{pmatrix} -2/3 & -2v/3u & -2w/3u -2u/3v & -2/3 & -2w/3v -2u/3w & -2v/3w & -2/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x y z \end{pmatrix} = 0$ En multipliant la première ligne par $-3u/2$ , la deuxième par $-3v/2$ et la troisième par $-3w/2$ , on obtient trois fois la même équation : $\boxed{ux + vy + wz = 0}$ C'est l'équation d'un plan vectoriel $H$ . Ainsi $\boxed{1 \in \text{Sp}(N)}$ et $E_1(N) = H$ , qui est de dimension 2.
On a trouvé deux sous-espaces propres dont la somme des dimensions est $1 + 2 = 3$ . La matrice $N$ est donc diagonalisable dans une base de vecteurs propres. Dans cette base, la matrice de l'endomorphisme associé est : $\Delta = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ On reconnaît la matrice d'une symétrie. L'endomorphisme associé à $N$ est la symétrie par rapport au plan $H : ux + vy + wz = 0$ parallèlement à la droite $D = \text{Vect}(1/u, 1/v, 1/w)$ .

Attention à ne pas conclure trop vite à une symétrie orthogonale sans avoir vérifié que $E_1 \perp E_{-1}$ . Ici, cela dépend du produit scalaire choisi (la symétrie est orthogonale pour le produit scalaire canonique si et seulement si $u=v=w$ ).