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Symétrie polynomiale et réduction par blocs

symétriematrice par blocschangement de basepolynômesBase adaptéeMatrice de permutation

Soit n=2m−1n = 2m-1 un entier impair. On considère l'application f:Rn[X]→Rn[X]f : \mathbb{R}_n[X] \rightarrow \mathbb{R}_n[X] définie par :

f(P)(X)=XnP(1X)f(P)(X) = X^n P\left(\frac{1}{X}\right)

  1. Montrer que ff est une symétrie de Rn[X]\mathbb{R}_n[X].
  2. Déterminer la matrice AA de ff dans la base canonique C=(1,X,…,Xn)\mathcal{C} = (1, X, \dots, X^n).
  3. Justifier que ff est diagonalisable et déterminer les dimensions respectives des sous-espaces propres E1(f)E_1(f) et E−1(f)E_{-1}(f). Donner une base de chacun d'eux.
  4. Montrer que la matrice AA est semblable à une matrice diagonale par blocs B=diag(S,S,…,S)B = \text{diag}(S, S, \dots, S) où S=(0110)S = \begin{pmatrix} 0 & 1
    1 & 0 \end{pmatrix}    .

1.

Calculer f(f(P))f(f(P)) pour prouver que c'est une symétrie.

2.

Pour les sous-espaces propres, considérer les polynômes Xk+Xn−kX^k + X^{n-k} et Xk−Xn−kX^k - X^{n-k}.

3.

Pour la structure par blocs, choisir judicieusement l'ordre des vecteurs de la base.

Idées clés

•

Propriété des symétries (f2=Idf^2 = \text{Id}).

•

Bases adaptées à la décomposition E=E1⊕E−1E = E_1 \oplus E_{-1}.

•

Changement de base et matrices de permutation.

Résolution.

  1. Calculons f(f(P))f(f(P)) pour un polynôme PP :
    f(f(P))(X)=Xn(f(P)(1X))=Xn((1X)nP(11/X))=Xn1XnP(X)=P(X)f(f(P))(X) = X^n \left( f(P)\left(\frac{1}{X}\right) \right) = X^n \left( \left(\frac{1}{X}\right)^n P\left(\frac{1}{1/X}\right) \right) = X^n \frac{1}{X^n} P(X) = P(X)
    Comme ff est clairement linéaire, f2=IdEf^2 = \text{Id}_E.
    f est une symeˊtrie\boxed{f \text{ est une symétrie}}

  2. Soit k∈{0,…,n}k \in \{0, \dots, n\}. On a f(Xk)=Xn(1/X)k=Xn−kf(X^k) = X^n (1/X)^k = X^{n-k}. L'image du kk-ième vecteur de la base canonique est le (n−k)(n-k)-ième vecteur. La matrice AA comporte des 1 uniquement sur la "seconde diagonale" (anti-diagonale) : Ai,j=1A_{i,j} = 1 si i+j=n+1i+j = n+1 (avec indices de 0 à nn) et 0 sinon.
    A=(0…01⋮…100…⋮⋮10…0)\boxed{A = \begin{pmatrix} 0 & \dots & 0 & 1
    \vdots & \dots & 1 & 0
    0 & \dots & \vdots & \vdots
    1 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}}

  3. Toute symétrie est diagonalisable (annulée par X2−1X^2-1 qui est scindé à racines simples). Les valeurs propres sont 11 et −1-1. On observe que f(Xk+Xn−k)=Xn−k+Xkf(X^k + X^{n-k}) = X^{n-k} + X^k, donc Xk+Xn−k∈E1X^k + X^{n-k} \in E_1. De même, f(Xk−Xn−k)=Xn−k−Xk=−(Xk−Xn−k)f(X^k - X^{n-k}) = X^{n-k} - X^k = -(X^k - X^{n-k}), donc Xk−Xn−k∈E−1X^k - X^{n-k} \in E_{-1}. Comme n=2m−1n = 2m-1, il y a 2m2m vecteurs dans la base canonique. On peut former mm paires (Xk,Xn−k)(X^k, X^{n-k}) pour k∈{0,…,m−1}k \in \{0, \dots, m-1\}. Une base de E1E_1 est (Xk+Xn−k)0≤k<m(X^k + X^{n-k})_{0 \leq k < m} et une base de E−1E_{-1} est (Xk−Xn−k)0≤k<m(X^k - X^{n-k})_{0 \leq k < m}. Les deux sous-espaces sont de dimension mm.
    dim⁡E1=dim⁡E−1=m=n+12\boxed{\dim E_1 = \dim E_{-1} = m = \frac{n+1}{2}}

  4. On considère la base B′=(1,Xn,X,Xn−1,…,Xm−1,Xm)\mathcal{B}' = (1, X^n, X, X^{n-1}, \dots, X^{m-1}, X^m). Pour chaque paire (Xk,Xn−k)(X^k, X^{n-k}), le sous-espace Vk=Vect(Xk,Xn−k)V_k = \text{Vect}(X^k, X^{n-k}) est stable par ff. Dans la base (Xk,Xn−k)(X^k, X^{n-k}), la restriction de ff à VkV_k a pour matrice :
    S=(0110)S = \begin{pmatrix} 0 & 1
    1 & 0 \end{pmatrix}
    Comme E=V0⊕V1⊕⋯⊕Vm−1E = V_0 \oplus V_1 \oplus \dots \oplus V_{m-1}, la matrice de ff dans B′\mathcal{B}' est diagonale par blocs :
    B=(S(0)⋱(0)S)\boxed{B = \begin{pmatrix} S & & (0)
    & \ddots &
    (0) & & S \end{pmatrix}}

Attention au nombre de vecteurs : si nn était pair, il y aurait un vecteur central Xn/2X^{n/2} tel que f(Xn/2)=Xn/2f(X^{n/2}) = X^{n/2}, ce qui changerait la structure des blocs (un bloc 1×11 \times 1 supplémentaire). Ici, nn est impair, donc tout se regroupe par paires.