Rang d'une famille de projecteurs orthogonaux

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \geqslant 1$ . On considère $n$ endomorphismes non nuls de $E$ , notés $f_1, f_2, \ldots, f_n$ . On suppose que ces endomorphismes vérifient la relation suivante :

\forall (i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2,   f_i \circ f_j = \delta_{i,j} f_i

où

\delta_{i,j}

désigne le symbole de Kronecker (

\delta_{i,j}=1

si

i=j

et

0

sinon).

Montrer que pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$ , l'endomorphisme $f_i$ est de rang $1$ .

1.

Commencer par interpréter la relation $f_i \circ f_i = f_i$ en termes de nature géométrique pour les applications $f_i$ .

2.

Étudier la somme des images des endomorphismes $f_i$ . On pourra montrer que la somme $\sum_{i=1}^n \text{Im}(f_i)$ est directe.

3.

Conclure en utilisant les propriétés de la dimension et le fait que les $f_i$ sont non nuls.

Idées clés

•

Utilisation de la structure de projecteur ( $f_i^2 = f_i$ ).

•

Propriété de la somme directe des images pour des projecteurs mutuellement orthogonaux.

•

Argument de dimension : la somme des rangs est majorée par la dimension de l'espace.

Résolution.

Analyse de la nature des endomorphismes. D'après l'énoncé, pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$ , on a $f_i \circ f_i = f_i$ (cas $i=j$ ). Par définition, chaque $f_i$ est donc un projecteur de $E$ . Comme les $f_i$ sont supposés non nuls, on en déduit que : $\forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, \text{rg}(f_i) \geqslant 1$
Somme directe des images. Montrons que la somme des sous-espaces $V_i = \text{Im}(f_i)$ est directe. Soit $(x_1, \dots, x_n)$ une famille de vecteurs tels que pour tout $i$ , $x_i \in \text{Im}(f_i)$ , et supposons que : $\sum_{j=1}^n x_j = 0$ Puisque $x_j \in \text{Im}(f_j)$ et que $f_j$ est un projecteur, on a $f_j(x_j) = x_j$ . Appliquons l'endomorphisme $f_i$ à l'égalité ci-dessus pour un indice $i$ fixé : $f_i\left( \sum_{j=1}^n x_j \right) = f_i(0) = 0$ Par linéarité de $f_i$ , on obtient : $\sum_{j=1}^n f_i(x_j) = 0$ Or, d'après la relation de l'énoncé, si $i \neq j$ , $f_i \circ f_j = 0$ . Comme $x_j = f_j(x_j)$ , on a : $\forall j \neq i, f_i(x_j) = f_i(f_j(x_j)) = (f_i \circ f_j)(x_j) = 0$ L'égalité devient donc : $f_i(x_i) = 0$ Comme $x_i \in \text{Im}(f_i)$ , on a $f_i(x_i) = x_i$ , d'où $x_i = 0$ . Ceci étant vrai pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket$ , la somme est bien directe : $\boxed{ \bigoplus_{i=1}^n \text{Im}(f_i) \subset E }$
Conclusion sur le rang. De la relation d'inclusion précédente, on déduit par croissance de la dimension : $\dim \left( \bigoplus_{i=1}^n \text{Im}(f_i) \right) \leqslant \dim(E)$ Par propriété de la dimension d'une somme directe : $\sum_{i=1}^n \dim(\text{Im}(f_i)) \leqslant n$ Soit encore, en notant $r_i = \text{rg}(f_i)$ : $\sum_{i=1}^n r_i \leqslant n$ Or, nous avons établi à la première question que pour tout $i$ , $r_i$ est un entier naturel tel que $r_i \geqslant 1$ . Si l'un des $r_i$ était strictement supérieur à $1$ , la somme serait strictement supérieure à $n$ , ce qui est impossible. Par conséquent, tous les $r_i$ doivent être égaux à $1$ . $\boxed{ \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket, \text{rg}(f_i) = 1 }$

Ne pas oublier de justifier que $f_i$ est un projecteur avant d'utiliser la relation $f_i(x) = x$ pour $x \in \text{Im}(f_i)$ . De même, il est crucial de mentionner que les $f_i$ sont non nuls pour minorer leur rang par $1$ .