Propriétés et codiagonalisation de deux projecteurs

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel. On considère deux endomorphismes $p$ et $q$ de $\mathcal{L}(E)$ vérifiant les relations de composition suivantes :

p \circ q = q   \text{et}   q \circ p = p

Démontrer que $p$ et $q$ sont des projecteurs de $E$ . En déduire qu'ils sont diagonalisables dans le cas où $E$ est de dimension finie.
Établir une condition nécessaire et suffisante pour que $p$ et $q$ soient simultanément diagonalisables.
On suppose dans cette question que $F, G$ et $H$ sont trois sous-espaces vectoriels de $E$ tels que : $F \oplus G = F \oplus H = E$ Montrer que les sous-espaces $G$ et $H$ sont isomorphes. On pourra s'aider d'un projecteur bien choisi.

1.

Pour la question 1, calculer $p^2$ et $q^2$ en utilisant les relations de l'énoncé. Un projecteur est toujours diagonalisable car il annule un polynôme scindé à racines simples.

2.

Pour la question 2, utiliser le fait que deux endomorphismes diagonalisables sont codiagonalisables si et seulement s'ils commutent.

3.

Pour la question 3, considérer le projecteur $p$ sur $G$ parallèlement à $F$ . Étudier la restriction de ce projecteur au sous-espace $H$ .

Idées clés

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Caractérisation algébrique des projecteurs : $u^2 = u$ .

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Critère de codiagonalisation : commutation d'endomorphismes diagonalisables.

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Utilisation des projecteurs pour construire des isomorphismes entre supplémentaires.

Résolution.

Montrons que $p$ et $q$ sont des projecteurs. En utilisant la relation $p \circ q = q$ , nous pouvons substituer $p$ dans le calcul de $p^2$ en utilisant $p = q \circ p$ : $p^2 = p \circ (q \circ p) = (p \circ q) \circ p$ D'après l'hypothèse $p \circ q = q$ , on obtient : $p^2 = q \circ p = p$ De la même manière, pour $q$ : $q^2 = q \circ (p \circ q) = (q \circ p) \circ q = p \circ q = q$ Ainsi, $p$ et $q$ sont des projecteurs de $E$ . $\boxed{p^2 = p \text{et} q^2 = q}$ Ces endomorphismes annulent le polynôme $X^2 - X = X(X-1)$ . Ce polynôme est scindé à racines simples sur $\mathbb{K}$ (les racines sont 0 et 1). Par conséquent, en dimension finie, $p$ et $q$ sont diagonalisables.
Condition de codiagonalisation. Nous savons qu'une famille d'endomorphismes diagonalisables est simultanément diagonalisable si et seulement si ses éléments commutent deux à deux. Supposons que $p$ et $q$ commutent, c'est-à-dire $p \circ q = q \circ p$ . D'après les hypothèses initiales, nous avons $p \circ q = q$ et $q \circ p = p$ . Par substitution, la relation de commutation implique immédiatement : $q = p$ Réciproquement, si $p = q$ , alors ils commutent trivialement et sont donc simultanément diagonalisables. $\boxed{p \text{ et } q \text{ sont codiagonalisables} \iff p = q}$
Isomorphisme entre supplémentaires. Soit $p$ le projecteur sur $G$ parallèlement à $F$ . Ce projecteur est bien défini car $F \oplus G = E$ . Par définition, nous avons : $\text{Im}(p) = G \text{et} \text{Ker}(p) = F$ Considérons l'application linéaire $u$ définie par la restriction de $p$ à $H$ : $u = p_{|H} : H \longrightarrow G$ Injectivité de $u$ : Soit $x \in \text{Ker}(u)$ . Alors $x \in H$ et $p(x) = 0$ . Cela signifie que $x \in H \cap \text{Ker}(p) = H \cap F$ . Comme $F$ et $H$ sont en somme directe ( $F \oplus H = E$ ), on a $H \cap F = \{0\}$ . D'où $x = 0$ , et $u$ est injective. Surjectivité de $u$ : Soit $g \in G$ . Puisque $E = F \oplus H$ , il existe un unique couple $(f, h) \in F \times H$ tel que $g = f + h$ . Appliquons le projecteur $p$ à cette égalité : $p(g) = p(f) + p(h)$ Comme $g \in G = \text{Im}(p)$ , on a $p(g) = g$ . Comme $f \in F = \text{Ker}(p)$ , on a $p(f) = 0$ . L'égalité devient : $g = 0 + p(h) = u(h)$ Ainsi, tout élément de $G$ possède un antécédent dans $H$ par $u$ . L'application $u$ est surjective. $\boxed{u : H \xrightarrow{\sim} G \text{ est un isomorphisme}}$

Dans la question 3, il ne faut pas supposer la dimension finie. Un argument basé sur les dimensions ( $\dim G = \dim E - \dim F = \dim H$ ) ne serait valable qu'en dimension finie. La construction explicite de l'isomorphisme $u$ est nécessaire pour traiter le cas général.