Matrices à motifs : Bordures et Damier

Étudier la diagonalisabilité et le spectre des matrices suivantes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ( $n \geq 3$ ) :

La matrice "Flèche" $A$ dont la première ligne et la première colonne sont constituées de $1$ , et les autres coefficients sont nuls : $A = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1 \vdots & 0 & \vdots 1 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$
La matrice "Bordure" $B$ dont les lignes $1$ et $n$ ainsi que les colonnes $1$ et $n$ sont constituées de $1$ , le reste étant nul.
La matrice "Damier" $C \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$ de coefficients $c_{i,j}$ définis par : $c_{i,j} = \begin{cases} a & \text{si } i+j \text{ est pair} b & \text{si } i+j \text{ est impair} \end{cases}$ où $(a, b) \in \mathbb{C}^2$ .

1.

Pour $A$ , calculer $AX = \lambda X$ en isolant la première composante.

2.

Pour $B$ , remarquer que $\text{rg}(B)=2$ et utiliser la symétrie.

3.

Pour $C$ , écrire la matrice par blocs $2 \times 2$ ou remarquer que les lignes sont soit $L_1$ soit $L_2$ .

Idées clés

•

Calcul du polynôme caractéristique par développement ou pivot.

•

Utilisation du rang pour limiter le nombre de valeurs propres non nulles.

•

Symétrie réelle implique diagonalisabilité.

Résolution.

Matrice Flèche : On a $\text{rg}(A)=2$ car les colonnes $2$ à $n$ sont toutes égales et non nulles, et la première colonne n'est pas colinéaire aux autres. Ainsi, $0$ est valeur propre de multiplicité géométrique au moins $n-2$ . Cherchons les valeurs propres non nulles $\lambda$ . $AX = \lambda X$ donne : $\begin{cases} x_1 + \dots + x_n = \lambda x_1 x_1 = \lambda x_i (\text{pour } i \geq 2) \end{cases}$ En remplaçant $x_i = x_1/\lambda$ , on obtient : $x_1 + (n-1)\frac{x_1}{\lambda} = \lambda x_1$ . Comme $x_1 \neq 0$ (sinon $X=0$ ), on a $\lambda + \frac{n-1}{\lambda} = \lambda^2$ , d'où : $\boxed{\lambda^2 - \lambda - (n-1) = 0}$ Ce polynôme a deux racines distinctes $\lambda_{\pm} = \frac{1 \pm \sqrt{1+4(n-1)}}{2}$ . Puisque $\lambda_+ \neq \lambda_-$ et qu'elles sont non nulles, on a $n$ vecteurs propres. $A$ est diagonalisable.
Matrice Bordure : $B$ est une matrice réelle symétrique, donc $B$ est diagonalisable. Son rang est $2$ (les colonnes $C_2 \dots C_{n-1}$ sont nulles, $C_1$ et $C_n$ sont liées). Attention : les colonnes $C_1$ et $C_n$ sont identiques, donc $\text{rg}(B)=1$ . Mais l'énoncé source (1e) précise que les colonnes $1, n$ et lignes $1, n$ contiennent des $1$ . La structure est : $B_{1,j}=1, B_{n,j}=1, B_{i,1}=1, B_{i,n}=1$ . Les lignes $L_1$ et $L_n$ sont $(1, \dots, 1)$ . Les lignes $L_2 \dots L_{n-1}$ sont $(1, 0, \dots, 0, 1)$ . $\text{rg}(B)=2$ . Le noyau est de dimension $n-2$ . $\text{Tr}(B) = 1+0+\dots+0+1 = 2$ . Calculons $B^2$ ou cherchons les valeurs propres sur l'image. L'image est engendrée par $V_1 = (1, \dots, 1)^T$ et $V_2 = (1, 0, \dots, 0, 1)^T$ . On trouve deux valeurs propres non nulles, $B$ est diagonalisable.
Matrice Damier : On remarque que pour tout $i$ , $L_{i+2} = L_i$ . Les lignes sont soit $L_1 = (a, b, a, b, \dots)$ soit $L_2 = (b, a, b, a, \dots)$ . $\text{rg}(C) \leq 2$ . Le spectre contient $0$ de multiplicité au moins $2n-2$ . Cherchons les valeurs propres de la restriction de $u$ à $\text{Vect}(L_1, L_2)$ . Soit $X = \alpha L_1 + \beta L_2$ . $CX = \lambda X \iff \dots$ En posant $S_1$ la somme des termes en position paire et $S_2$ impaire d'un vecteur, on se ramène à une matrice $2 \times 2$ : $M = \begin{pmatrix} na & nb nb & na \end{pmatrix}$ Les valeurs propres sont $n(a+b)$ et $n(a-b)$ . Si $a+b \neq 0$ et $a-b \neq 0$ et $a \neq b$ , la matrice est diagonalisable.

Pour la matrice flèche, ne pas oublier que le rang est $2$ . Il y a donc $n-2$ fois la valeur propre $0$ , et les deux autres sont déterminées par la trace et la somme des mineurs d'ordre 2 (ou l'équation trouvée).