Sous-espace engendré par les matrices de carré nul

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathbb{K}$ un corps de caractéristique nulle (par exemple $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). On s'intéresse à l'ensemble $\mathcal{N}_2$ des matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ dont le carré est nul :

\mathcal{N}_2 = \left\{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \mid M^2 = 0 \right\}

Déterminer le sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ engendré par $\mathcal{N}_2$ .

1.

Commencer par traiter le cas $n=1$ .

2.

Pour $n \geq 2$ , observer le lien entre la nilpotence et la trace d'une matrice.

3.

Utiliser la base canonique $(E_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ pour construire des éléments de $\text{Vect}(\mathcal{N}_2)$ .

4.

Montrer que toute matrice de trace nulle appartient à l'espace engendré.

Idées clés

•

Inclusion directe via la linéarité de la trace et les propriétés des matrices nilpotentes.

•

Inclusion réciproque par construction d'une base de l'hyperplan des matrices de trace nulle.

Résolution.

Cas $n=1$ : Une matrice $M = (x) \in \mathcal{M}_1(\mathbb{K})$ vérifie $M^2 = 0$ si et seulement si $x^2 = 0$ , soit $x=0$ . Ainsi, $\mathcal{N}_2 = \{0\}$ et le sous-espace engendré est réduit au singleton nul. $\boxed{ \text{Vect}(\mathcal{N}_2) = \{0\} }$
Cas $n \geq 2$ : Soit $M \in \mathcal{N}_2$ $M \in N_{2}$ . Comme $M^2 = 0$ $M^{2} = 0$ , $M$ $M$ est nilpotente. Ses valeurs propres (dans une clôture algébrique de $\mathbb{K}$ $K$ ) sont toutes nulles. Par conséquent, sa trace est nulle : $\text{Tr}(M) = 0$ $Tr (M) = 0$ . Comme l'application trace est une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ $M_{n} (K)$ , le sous-espace vectoriel engendré par $\mathcal{N}_2$ $N_{2}$ est inclus dans le noyau de la trace :
$\text{Vect}(\mathcal{N}_2) \subseteq \text{ker}(\text{Tr})$
Montrons l'inclusion réciproque. On sait que $\text{ker}(\text{Tr})$ est un hyperplan de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , de dimension $n^2 - 1$ . Une base classique de cet hyperplan est constituée des matrices :
- $E_{i,j}$ pour $i \neq j$ (au nombre de $n^2 - n$ ).
- $H_i = E_{i,i} - E_{i+1,i+1}$ pour $1 \leq i \leq n-1$ (au nombre de $n-1$ ).
Analyse des matrices $E_{i,j$ $E_{i, j}$ ( $i \neq j$ ) :} Pour tout $i \neq j$ , on a $(E_{i,j})^2 = \delta_{j,i} E_{i,j} = 0$ . Donc $E_{i,j} \in \mathcal{N}_2$ , d'où $E_{i,j} \in \text{Vect}(\mathcal{N}_2)$ . Analyse des matrices $H_i$ : Soit $i \in \{1, \dots, n-1\}$ . Considérons les matrices suivantes :
$A_i = E_{i,i} + E_{i,i+1} - E_{i+1,i} - E_{i+1,i+1}$

$B_i = E_{i,i} - E_{i,i+1} + E_{i+1,i} - E_{i+1,i+1}$
Calculons $A_i^2$ $A_{i}^{2}$ en utilisant les relations $E_{a,b}E_{c,d} = \delta_{b,c}E_{a,d}$ $E_{a, b} E_{c, d} = δ_{b, c} E_{a, d}$ :
$A_i^2 = (E_{i,i} + E_{i,i+1}) - (E_{i,i} + E_{i,i+1}) - (E_{i+1,i} + E_{i+1,i+1}) + (E_{i+1,i} + E_{i+1,i+1}) = 0$
De même, on vérifie que $B_i^2 = 0$ $B_{i}^{2} = 0$ . Ainsi, $A_i$ $A_{i}$ et $B_i$ $B_{i}$ appartiennent à $\mathcal{N}_2$ $N_{2}$ . Or, on remarque que :
$A_i + B_i = 2(E_{i,i} - E_{i+1,i+1}) = 2 H_i$
Comme la caractéristique du corps est différente de 2, on en déduit :
$H_i = \frac{1}{2}(A_i + B_i) \in \text{Vect}(\mathcal{N}_2)$
Conclusion : Tous les éléments d'une base de $\text{ker}(\text{Tr})$ $ker (Tr)$ appartiennent à $\text{Vect}(\mathcal{N}_2)$ $Vect (N_{2})$ . Par conséquent, $\text{ker}(\text{Tr}) \subseteq \text{Vect}(\mathcal{N}_2)$ $ker (Tr) \subseteq Vect (N_{2})$ . Finalement, pour $n \geq 2$ $n \geq 2$ :
$\boxed{ \text{Vect}(\mathcal{N}_2) = \text{ker}(\text{Tr}) }$

Ne pas oublier le cas $n=1$ . Même si le résultat final $\text{ker}(\text{Tr})$ reste formellement vrai car la trace est l'identité en dimension 1, la structure du raisonnement sur la base de l'hyperplan nécessite $n \geq 2$ .