Décroissance des accroissements des noyaux itérés

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur un corps $\mathbb{K}$ et soit $f \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme. On s'intéresse à la suite des noyaux itérés de $f$ , c'est-à-dire à la suite de sous-espaces $(\ker(f^n))_{n \in \mathbb{N}}$ .

On pose, pour tout entier naturel $n$ , $k_n = \dim(\ker(f^n))$ .

Démontrer que la suite $(k_{n+1} - k_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite décroissante d'entiers naturels.

1.

Pour $n \in \mathbb{N}$ , on peut considérer la restriction de l'application $f$ à l'espace $\ker(f^{n+2})$ .

2.

On pourra introduire un supplémentaire de $\ker(f^{n+1})$ dans $\ker(f^{n+2})$ et étudier son image par $f$ .

3.

L'objectif est de construire une injection d'un espace de dimension $k_{n+2} - k_{n+1}$ vers un espace de dimension $k_{n+1} - k_n$ .

Idées clés

•

Propriété d'inclusion des noyaux itérés : $\ker(f^n) \subset \ker(f^{n+1})$ .

•

Utilisation d'un supplémentaire pour isoler l'accroissement de dimension.

•

Application du théorème du rang ou d'un argument d'injectivité sur une restriction bien choisie.

Résolution.

Considérons, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , le sous-espace $\ker(f^{n+2})$ .

On sait que $\ker(f^{n+1}) \subset \ker(f^{n+2})$ . Soit $W_{n+1}$ un supplémentaire de $\ker(f^{n+1})$ dans $\ker(f^{n+2})$ . On a alors :

\ker(f^{n+2}) = \ker(f^{n+1}) \oplus W_{n+1}

Par définition de la dimension d'une somme directe, on obtient l'égalité sur les dimensions :

\dim(W_{n+1}) = \dim(\ker(f^{n+2})) - \dim(\ker(f^{n+1})) = k_{n+2} - k_{n+1}

Étudions l'image de ce sous-espace $W_{n+1}$ par l'endomorphisme $f$ . Soit $x \in W_{n+1}$ .

Puisque $x \in \ker(f^{n+2})$ , on a $f^{n+2}(x) = 0$ , ce qui se réécrit $f^{n+1}(f(x)) = 0$ . Ainsi, $f(x) \in \ker(f^{n+1})$ .
Supposons que $f(x) \in \ker(f^n)$ . Alors $f^n(f(x)) = 0$ , donc $f^{n+1}(x) = 0$ . Ceci implique que $x \in \ker(f^{n+1})$ . Or, comme $x \in W_{n+1}$ et que $W_{n+1} \cap \ker(f^{n+1}) = \{0\}$ , on en déduit que $x = 0$ .

Considérons maintenant l'application linéaire $\psi$ définie par la restriction de $f$ à $W_{n+1}$ à valeurs dans $\ker(f^{n+1})$ :

\psi : \begin{cases} W_{n+1} \to \ker(f^{n+1}) x \mapsto f(x) \end{cases}

D'après le point (1), l'application est bien définie. Le point (2) montre que $\ker(\psi) = \{0\}$ . L'application $\psi$ est donc injective.

Par conséquent, l'image de $W_{n+1}$ par $f$ , notée $f(W_{n+1})$ , est un sous-espace vectoriel de $\ker(f^{n+1})$ de même dimension que $W_{n+1}$ . De plus, le point (2) montre également que :

f(W_{n+1}) \cap \ker(f^n) = \{0\}

En effet, si $y \in f(W_{n+1}) \cap \ker(f^n)$ , il existe $x \in W_{n+1}$ tel que $y = f(x)$ . Comme $y \in \ker(f^n)$ , le raisonnement précédent impose $x=0$ , donc $y=0$ .

On en déduit que la somme $f(W_{n+1}) + \ker(f^n)$ est une somme directe. Comme cette somme est incluse dans $\ker(f^{n+1})$ , on a l'inégalité suivante sur les dimensions :

\dim(f(W_{n+1})) + \dim(\ker(f^n)) \leqslant \dim(\ker(f^{n+1}))

En remplaçant $\dim(f(W_{n+1}))$ par $\dim(W_{n+1}) = k_{n+2} - k_{n+1}$ , on obtient :

(k_{n+2} - k_{n+1}) + k_n \leqslant k_{n+1}

Ce qui se réécrit immédiatement :

\boxed{k_{n+2} - k_{n+1} \leqslant k_{n+1} - k_n}

La suite des accroissements $(k_{n+1} - k_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est donc bien décroissante. Comme il s'agit d'une suite d'entiers, elle est également positive puisque $\ker(f^n) \subset \ker(f^{n+1})$ .

Attention à ne pas confondre la croissance de la suite $(\ker(f^n))$ (pour l'inclusion) avec la nature de la suite des différences de dimensions. Si la suite des dimensions est croissante, cela ne garantit pas a priori que ses accroissements sont décroissants (ce qu'on appelle la concavité de la suite).