Théorème du bicommutant de $f$

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n \geq 1$ sur le corps $\mathbb{C}$ . Pour tout endomorphisme $f \in \mathcal{L}(E)$ , on définit son commutant par :

C(f) = \{ g \in \mathcal{L}(E) \mid g \circ f = f \circ g \}

On définit ensuite son bicommutant

C^2(f)

comme l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec tous les éléments de

C(f)

:

C^2(f) = \{ h \in \mathcal{L}(E) \mid \forall g \in C(f), h \circ g = g \circ h \}

Démontrer que le bicommutant de

f

est exactement l'algèbre des polynômes en

f

:

\boxed{C^2(f) = \mathbb{C}[f]}

1.

L'inclusion $\mathbb{C}[f] \subseteq C^2(f)$ est immédiate par la définition du commutant.

2.

Pour l'inclusion réciproque, on pourra utiliser l'existence d'un vecteur $x_0 \in E$ tel que son polynôme minimal local soit égal au polynôme minimal de $f$ , noté $\mu_f$ .

3.

Montrer que pour tout $y \in E$ , il existe un endomorphisme $g \in C(f)$ tel que $g(x_0) = y$ . On pourra admettre que si $E_0 = \text{Vect}\{f^k(x_0), k \in \mathbb{N}\}$ , alors il existe un supplémentaire de $E_0$ stable par $f$ .

Idées clés

•

Double inclusion : l'une est triviale, l'autre repose sur la structure de $E$ comme $\mathbb{C}[f]$ -module.

•

Utilisation d'un vecteur "maximal" $x_0$ dont l'orbite engendre un espace de dimension égale au degré du polynôme minimal $\mu_f$ .

•

Construction d'un commutant $g$ envoyant $x_0$ sur n'importe quel $y$ .

Résolution.

Preuve de l'inclusion $\mathbb{C$ [f] \subseteq C^2(f) $C [f] \subseteq C^{2} (f)$ :} Soit $h \in \mathbb{C}[f]$ . Il existe un polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ tel que $h = P(f)$ . Soit $g \in C(f)$ . Par définition, $g$ commute avec $f$ , donc $g$ commute avec toutes les puissances de $f$ , et par linéarité, $g$ commute avec $P(f)$ . Ainsi, $h \circ g = g \circ h$ pour tout $g \in C(f)$ , ce qui montre : $\boxed{\mathbb{C}[f] \subseteq C^2(f)}$
Preuve de l'inclusion $C^2(f) \subseteq \mathbb{C$ [f] $C^{2} (f) \subseteq C [f]$ :} Soit $h \in C^2(f)$ . D'après un résultat classique de réduction (souvent lié au théorème de décomposition cyclique), il existe un vecteur $x_0 \in E$ tel que le polynôme minimal local $\mu_{f,x_0}$ soit égal au polynôme minimal global $\mu_f$ . Soit $E_0 = \text{Vect}\{f^k(x_0) \mid k \in \mathbb{N}\}$ . On sait qu'il existe un supplémentaire $W$ de $E_0$ qui est stable par $f$ : $E = E_0 \oplus W$ Comme $h \in C^2(f)$ et que le projecteur sur $E_0$ parallèlement à $W$ (noté $p_{E_0}$ ) appartient à $C(f)$ (car $E_0$ et $W$ sont stables par $f$ ), alors $h$ commute avec $p_{E_0}$ . Ceci implique que $h(E_0) \subseteq E_0$ . En particulier, $h(x_0) \in E_0$ . Par définition de $E_0$ , il existe donc un polynôme $P \in \mathbb{C}[X]$ tel que : $\boxed{h(x_0) = P(f)(x_0)}$ Montrons maintenant que $h = P(f)$ . Soit $y$ un vecteur quelconque de $E$ . Considérons l'application $g_0 : E_0 \to E$ définie par $g_0(Q(f)x_0) = Q(f)y$ . Cette application est bien définie car si $Q(f)x_0 = 0$ , alors $\mu_{f,x_0} = \mu_f$ divise $Q$ , donc $Q(f) = 0_{\mathcal{L}(E)}$ et par suite $Q(f)y = 0$ . De plus, $g_0$ commute avec $f$ sur $E_0$ . On peut étendre $g_0$ en un endomorphisme $g \in \mathcal{L}(E)$ en posant $g_{|W} = 0$ . Comme $W$ est stable par $f$ , on vérifie aisément que $g \in C(f)$ . Par construction, nous avons $g(x_0) = y$ . Puisque $h \in C^2(f)$ , $h$ commute avec $g$ : $h(y) = h(g(x_0)) = g(h(x_0))$ En utilisant la relation $h(x_0) = P(f)x_0$ , il vient : $h(y) = g(P(f)x_0) = P(f)g(x_0) = P(f)y$ Cette égalité étant vraie pour tout $y \in E$ , on en conclut que $h = P(f)$ , d'où : $\boxed{h \in \mathbb{C}[f]}$

Une erreur classique consiste à penser que $C(f) = \mathbb{C}[f]$ pour tout $f$ . C'est faux : cette égalité n'est vraie que si $f$ est un endomorphisme cyclique (son polynôme minimal est égal à son polynôme caractéristique). Le théorème du bicommutant, lui, est vrai pour tout $f$ .