Diagonalisabilité de l'opérateur de Sylvester

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathbb{K}$ un corps ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). On note $E = \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ . Pour deux matrices $A, B \in E$ , on considère l'application $\Phi : E \to E$ définie par :

\Phi(M) = AM - MB

On suppose dans cette question que $A$ $A$ et $B$ $B$ sont diagonalisables.
1. Montrer que les endomorphismes $L_A : M \mapsto AM$ et $R_B : M \mapsto MB$ sont diagonalisables.
2. En déduire que $\Phi$ est un endomorphisme diagonalisable de $E$ .
3. Soient $\lambda \in \operatorname{Sp}(A)$ et $\mu \in \operatorname{Sp}(B)$ . On considère $X$ un vecteur propre de $A$ associé à $\lambda$ et $Y$ un vecteur propre de ${}^t B$ associé à $\mu$ . Construire un vecteur propre de $\Phi$ et en déduire une base de vecteurs propres de $\Phi$ .
On se place maintenant sur $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ . Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ . On suppose que l'endomorphisme $f : M \mapsto AM - MA$ est diagonalisable. Montrer que la matrice $A$ est elle-même diagonalisable.

1.

Pour la question 1.(a), trouver un polynôme annulateur de $L_A$ (resp. $R_B$ ) à partir d'un polynôme annulateur de $A$ (resp. $B$ ).

2.

Pour la question 1.(b), observer que $L_A$ et $R_B$ commutent et utiliser le théorème de codiagonalisation.

3.

Pour la question 1.(c), considérer la matrice de rang 1 définie par $M = X {}^t Y$ .

4.

Pour la question 2, utiliser la décomposition de Dunford de $A = D + N$ et exprimer $f$ comme la somme de deux endomorphismes dont l'un est diagonalisable et l'autre nilpotent.

Idées clés

•

Propriété : $A$ est diagonalisable si et seulement si elle admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

•

Codiagonalisation : Deux endomorphismes diagonalisables qui commutent sont diagonalisables dans une base commune.

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Décomposition de Dunford : Toute matrice sur $\mathbb{C}$ s'écrit $D+N$ avec $D$ diag, $N$ nilpotente et $DN=ND$ .

Résolution.

1. Soit $P \in \mathbb{K}[X]$ . On remarque que pour tout $M \in E$ et tout $k \in \mathbb{N}$ : $(L_A)^k(M) = A^k M$ Par linéarité, pour tout polynôme $P$ , on en déduit que $P(L_A)(M) = P(A)M$ . Puisque $A$ est diagonalisable, il existe un polynôme $P$ scindé à racines simples tel que $P(A) = 0$ . D'après la relation précédente, $P(L_A) = 0$ . $\boxed{P(L_A) = 0 \text{ donc } L_A \text{ est diagonalisable}}$ Le raisonnement est identique pour $R_B$ en utilisant le fait que $(R_B)^k(M) = MB^k$ . Si $Q(B)=0$ avec $Q$ scindé à racines simples, alors $Q(R_B)=0$ .
2. On observe que pour toute matrice $M \in E$ : $L_A \circ R_B (M) = A(MB) \text{et} R_B \circ L_A (M) = (AM)B$ Par associativité du produit matriciel, ces deux expressions sont égales. $\boxed{L_A \circ R_B = R_B \circ L_A}$ Comme $L_A$ et $R_B$ sont deux endomorphismes diagonalisables qui commutent, ils sont simultanément diagonalisables. Leur différence $\Phi = L_A - R_B$ est donc diagonalisable dans une base commune de vecteurs propres.
3. Soit $X \in \mathbb{K}^n \setminus \{0\}$ tel que $AX = \lambda X$ . Soit $Y \in \mathbb{K}^n \setminus \{0\}$ tel que ${}^t B Y = \mu Y$ , ce qui implique ${}^t Y B = \mu {}^t Y$ en transposant. Considérons la matrice $M = X {}^t Y \in E$ . Cette matrice est non nulle (car $X, Y \neq 0$ ). Calculons son image : $\Phi(M) = A(X {}^t Y) - (X {}^t Y)B = (AX) {}^t Y - X ({}^t Y B)$ En remplaçant par les valeurs propres : $\Phi(M) = (\lambda X) {}^t Y - X (\mu {}^t Y) = (\lambda - \mu) X {}^t Y$ $\boxed{\Phi(M) = (\lambda - \mu) M}$ Soit $(X_1, \dots, X_n)$ une base de vecteurs propres de $A$ et $(Y_1, \dots, Y_n)$ une base de vecteurs propres de ${}^t B$ . La famille $(X_i {}^t Y_j)_{1 \le i, j \le n}$ est constituée de $n^2$ vecteurs propres de $\Phi$ . Comme cette famille est libre (résultat classique sur les matrices de rang 1), elle forme une base de $E$ .
Puisque $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ , la matrice $A$ admet une décomposition de Dunford $A = D + N$ où $D$ est diagonalisable, $N$ est nilpotente et $DN=ND$ . Définissons les endomorphismes $d(M) = DM - MD$ et $n(M) = NM - MN$ . On a $f = d + n$ . D'après la question 1, $d$ est diagonalisable car $D$ l'est (ici avec $B=D$ ). De plus, $n$ est nilpotent. En effet, $L_N$ et $R_N$ sont des endomorphismes nilpotents de $E$ qui commutent, donc leur différence $n = L_N - R_N$ est nilpotente. Comme $D$ et $N$ commutent, on vérifie aisément que $d$ et $n$ commutent : $d \circ n (M) = D(NM-MN) - (NM-MN)D = DNM - DMN - NMD + MND$ En utilisant $DN=ND$ , on trouve $d \circ n = n \circ d$ . Par unicité de la décomposition de Dunford de l'endomorphisme $f$ , sa partie nilpotente est $n$ . Or, par hypothèse, $f$ est diagonalisable, donc sa partie nilpotente est nulle. $\boxed{n = 0 \implies \forall M \in E, \ NM = MN}$ Une matrice qui commute avec toutes les matrices est une matrice scalaire : $N = \alpha I$ . Puisque $N$ est nilpotente, sa seule valeur propre est 0, donc $\alpha = 0$ . $\boxed{N = 0 \text{ donc } A = D \text{ est diagonalisable}}$

Ne pas oublier que pour le calcul de $\Phi(M)$ , il faut utiliser un vecteur propre de ${}^t B$ pour obtenir une valeur propre de $R_B$ . En effet, $MB = \mu M$ signifie que les lignes de $M$ sont des vecteurs propres à gauche de $B$ (donc des vecteurs propres de ${}^t B$ ).