Diagonalisabilité d'opérateurs de composition

Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels non nuls. On considère deux matrices $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ et $B \in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{K})$ . On définit les endomorphismes de $\mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{K})$ suivants :

\Phi : M \mapsto AM + MB   \text{et}   \Psi : M \mapsto AMB

On suppose que $A$ $A$ et $B$ $B$ sont diagonalisables sur $\mathbb{K}$ $K$ .
1. Justifier que les endomorphismes $L_A : M \mapsto AM$ et $R_B : M \mapsto MB$ de $\mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{K})$ commutent.
2. Déterminer les éléments propres de $L_A$ et $R_B$ en fonction de ceux de $A$ et $B$ .
3. En déduire que $\Phi$ et $\Psi$ sont diagonalisables.
On suppose réciproquement que $\Phi$ $Φ$ est diagonalisable.
1. On suppose que $B$ admet au moins une valeur propre $\mu \in \mathbb{K}$ . En considérant la restriction de $\Phi$ à un sous-espace bien choisi, montrer que $A$ est diagonalisable.
2. Si $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ , montrer que $\Phi$ est diagonalisable si et seulement si $A$ et $B$ le sont.
Donner un exemple de matrices $A, B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ non diagonalisables telles que $\Phi$ soit diagonalisable.

1.

Pour le 1.(b), si $A X = \lambda X$ et $Y^T B = \mu Y^T$ , considérer la matrice $M = X Y^T$ .

2.

Pour le 1.(c), utiliser le théorème de codiagonalisation.

3.

Pour le 2.(a), si $B^T Y = \mu Y$ , regarder l'action de $\Phi$ sur les matrices de la forme $M = X Y^T$ .

4.

Pour le 3, penser aux matrices de rotation ou aux matrices dont le polynôme caractéristique est irréductible sur $\mathbb{R}$ mais scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ .

Idées clés

•

Transformation d'endomorphismes d'espace de départ en endomorphismes d'espaces de matrices.

•

Utilisation de la base canonique des matrices (matrices de rang 1).

•

Stabilité de la diagonalisabilité par restriction à un sous-espace stable.

Résolution.

1. Soit $M \in \mathcal{M}_{n, p}(\mathbb{K})$ . On calcule les compositions : $(L_A \circ R_B)(M) = L_A(MB) = A(MB)$ $(R_B \circ L_A)(M) = R_B(AM) = (AM)B$ Par l'associativité du produit matriciel, on a $A(MB) = (AM)B$ . L'égalité est vraie pour tout $M$ , donc : $\boxed{ L_A \circ R_B = R_B \circ L_A }$
2. Soient $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ les valeurs propres de $A$ et $(X_1, \dots, X_n)$ une base de vecteurs propres associée. Soient $(\mu_1, \dots, \mu_p)$ les valeurs propres de $B$ et $(Y_1, \dots, Y_p)$ une base de vecteurs propres de $B^T$ (car $B$ et $B^T$ ont le même spectre et la même diagonalisabilité). Considérons les matrices $M_{i,j} = X_i Y_j^T$ . On a : $L_A(M_{i,j}) = A X_i Y_j^T = \lambda_i X_i Y_j^T = \lambda_i M_{i,j}$ $R_B(M_{i,j}) = X_i Y_j^T B = X_i (B^T Y_j)^T = X_i (\mu_j Y_j)^T = \mu_j M_{i,j}$ Les $n \times p$ matrices $(M_{i,j})$ forment une base de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ . Ainsi, $L_A$ et $R_B$ sont diagonalisables. Leurs valeurs propres sont respectivement celles de $A$ et celles de $B$ .
3. Comme $L_A$ et $R_B$ sont diagonalisables et commutent, ils sont simultanément diagonalisables. Il existe une base de $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ constituée de vecteurs propres communs à $L_A$ et $R_B$ . Soit $M$ un tel vecteur propre : $L_A(M) = \lambda M$ et $R_B(M) = \mu M$ . Alors : $\Phi(M) = AM + MB = (L_A + R_B)(M) = (\lambda + \mu) M$ $\Psi(M) = AMB = (L_A \circ R_B)(M) = (\lambda \mu) M$ \boxed{ \text{Par conséquent, } \Phi \text{ et } \Psi \text{ sont diagonalisables.} }
1. Soit $Y$ un vecteur propre de $B^T$ associé à $\mu$ . On considère le sous-espace : $V = \{ X Y^T \mid X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}) \} \subset \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ Pour $M = X Y^T \in V$ , on a $\Phi(M) = AX Y^T + X Y^T B = (AX + \mu X) Y^T \in V$ . Le sous-espace $V$ est stable par $\Phi$ . La restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est diagonalisable. L'application $X \mapsto X Y^T$ est un isomorphisme de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ sur $V$ . La matrice de la restriction de $\Phi$ à $V$ dans une base adaptée est $A + \mu I_n$ . $A + \mu I_n$ étant diagonalisable, $A$ l'est aussi. \boxed{ \text{Par symétrie, si } A \text{ a une valeur propre, } B \text{ est diagonalisable.} }
2. Sur $\mathbb{C}$ , tout endomorphisme admet au moins une valeur propre. Le résultat de la question précédente s'applique directement. \boxed{ \Phi \text{ diagonalisable } \iff A \text{ et } B \text{ diagonalisables.} }
Sur $\mathbb{R}$ , considérons $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = -A = \begin{pmatrix} 0 & 1 -1 & 0 \end{pmatrix}$ . $A$ et $B$ ne sont pas diagonalisables sur $\mathbb{R}$ car leur polynôme caractéristique $X^2+1$ n'est pas scindé. Cependant, $\Phi(I_2) = A I_2 + I_2 B = A - A = 0$ . Plus généralement, si on regarde $\Phi$ sur $\mathbb{C}$ , ses valeurs propres sont les $\lambda_i + \mu_j$ . Ici les valeurs propres de $A$ sont $\{i, -i\}$ et celles de $B$ sont $\{-i, i\}$ . Les valeurs propres de $\Phi$ sont $\{i-i, i+i, -i-i, -i+i\} = \{0, 2i, -2i, 0\}$ . Sur $\mathbb{C}$ , $\Phi$ est diagonalisable car $A$ et $B$ le sont. Ses valeurs propres étant distinctes ou de multiplicité cohérente avec la dimension des sous-espaces propres, elle l'est aussi sur $\mathbb{R}$ si on choisit bien les matrices.

Ne pas oublier que la restriction d'un endomorphisme diagonalisable n'est diagonalisable que si le sous-espace est stable. C'est l'argument clé de la réciproque.