Caractères et coréduction d'un groupe fini

Soit $(G, +)$ un groupe abélien fini de cardinal $n$ . On s'intéresse à l'espace vectoriel $E = \mathcal{F}(G, \mathbb{C})$ des fonctions de $G$ dans $\mathbb{C}$ . Pour tout élément $g \in G$ , on définit l'application $T_g : E \to E$ par :

\forall f \in E, \forall x \in G,   T_g(f)(x) = f(x + g)

On appelle caractère de

G

tout morphisme de groupes de

(G, +)

dans

(\mathbb{C}^*, \times)

. On note

\widehat{G}

l'ensemble de ces caractères.

Justifier que pour tout $g \in G$ , il existe $k \in \mathbb{N}^*$ tel que $k \cdot g = 0_G$ (où $0_G$ est le neutre de $G$ ).
Montrer que pour tout $g \in G$ , $T_g$ est un endomorphisme de $E$ .
Établir que la famille d'endomorphismes $(T_g)_{g \in G}$ est une famille d'endomorphismes qui commutent deux à deux et qui sont tous diagonalisables.
En déduire qu'il existe une base de $E$ constituée de vecteurs propres communs à tous les $T_g$ .
Soit $f$ $f$ un vecteur propre commun aux $(T_g)_{g \in G}$ $(T_{g})_{g \in G}$ non nul.
1. Montrer qu'il existe un caractère $\chi \in \widehat{G}$ tel que $f$ soit proportionnel à $\chi$ .
2. En déduire que les éléments de $\widehat{G}$ forment une base de $E$ .
Déterminer le cardinal de $\widehat{G}$ .

1.

Pour la question 1, utiliser le fait que $G$ est fini (ou le théorème de Lagrange).

2.

Pour la diagonalisabilité, trouver un polynôme annulateur scindé à racines simples en utilisant la relation $T_{k \cdot g}$ .

3.

Pour la question 5, si $T_g(f) = \lambda_g f$ , évaluer cette relation en $0_G$ pour exprimer $f(g)$ .

4.

Pour l'indépendance linéaire des caractères, on peut utiliser le fait que ce sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes (ou un argument classique sur les caractères).

Idées clés

•

Diagonalisation par polynôme annulateur ( $X^k - 1$ ).

•

Codiagonalisation de familles commutantes.

•

Identification des sous-espaces propres communs avec les structures de caractères.

Résolution.

Puisque le groupe $G$ est fini, pour tout élément $g \in G$ , l'ensemble $\{m \cdot g \mid m \in \mathbb{N}^*\}$ est fini. Par principe des tiroirs, il existe $m_1 < m_2$ tels que $m_1 \cdot g = m_2 \cdot g$ , d'où $(m_2 - m_1) \cdot g = 0_G$ . En posant $k = m_2 - m_1 \in \mathbb{N}^*$ , on a bien : $\boxed{k \cdot g = 0_G}$
La linéarité de $T_g$ découle de la structure d'espace vectoriel de $\mathcal{F}(G, \mathbb{C})$ . Pour tous $f_1, f_2 \in E$ et $\lambda \in \mathbb{C}$ , on a pour tout $x \in G$ : $T_g(\lambda f_1 + f_2)(x) = (\lambda f_1 + f_2)(x+g) = \lambda f_1(x+g) + f_2(x+g)$ Ce qui correspond exactement à $\lambda T_g(f_1)(x) + T_g(f_2)(x)$ .
Soient $g, h \in G$ . On calcule la composée pour $f \in E$ et $x \in G$ : $T_g(T_h(f))(x) = T_h(f)(x+g) = f(x+g+h)$ Comme $G$ est abélien, $x+g+h = x+h+g$ . On obtient donc : $\boxed{T_g \circ T_h = T_h \circ T_g}$ De plus, d'après la question 1, il existe $k \in \mathbb{N}^*$ tel que $k \cdot g = 0_G$ . On remarque que $T_g^k = T_{k \cdot g} = T_{0_G} = \text{Id}_E$ . L'endomorphisme $T_g$ est donc annulé par le polynôme $P(X) = X^k - 1$ . Ce polynôme est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ (les racines $k$ -ièmes de l'unité). Par critère polynomial, on en déduit : $\boxed{\forall g \in G, T_g \text{ est diagonalisable}}$
La famille $(T_g)_{g \in G}$ est une famille d'endomorphismes d'un espace de dimension finie qui commutent deux à deux et sont tous diagonalisables. D'après le cours sur la coréduction, il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres communs à tous les $T_g$ .
1. Soit $f \neq 0$ un vecteur propre commun. Pour tout $g \in G$ , il existe $\lambda_g \in \mathbb{C}$ tel que $T_g(f) = \lambda_g f$ . Cela signifie que pour tout $x \in G$ , $f(x+g) = \lambda_g f(x)$ . En fixant $x = 0_G$ , on obtient $f(g) = \lambda_g f(0_G)$ . Si $f(0_G) = 0$ , alors $f(g) = 0$ pour tout $g$ , ce qui contredit $f \neq 0$ . Posons $\chi(g) = \lambda_g$ . Comme $f = f(0_G) \chi$ , on a $f$ proportionnel à $\chi$ . Vérifions que $\chi \in \widehat{G}$ . On a $f(x+g) = \chi(g)f(x)$ . En remplaçant $f$ par $f(0_G)\chi$ , on a : $\chi(x+g) = \chi(x)\chi(g)$ De plus, $\chi(0_G) = 1$ car $f(0_G) = \chi(0_G)f(0_G)$ et $f(0_G) \neq 0$ . Comme $\chi(g)\chi(-g) = \chi(0_G) = 1$ , $\chi(g)$ ne s'annule jamais. Ainsi $\chi$ est un morphisme de $G$ dans $\mathbb{C}^*$ .
2. D'après la question 4, il existe une base $\mathcal{B} = (f_1, \dots, f_n)$ de vecteurs propres communs. Chaque $f_i$ est proportionnel à un caractère $\chi_i \in \widehat{G}$ d'après (a). La famille $(\chi_1, \dots, \chi_n)$ est donc une famille génératrice de $E$ constituée de caractères. Par ailleurs, des caractères distincts sont linéairement indépendants (théorème d'Artin ou propriété des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes). Ainsi, la famille des caractères forme une base de $E$ .
Puisque $\widehat{G}$ forme une base de $E$ , son cardinal est égal à la dimension de $E$ . On sait que $\dim E = \dim \mathcal{F}(G, \mathbb{C}) = \text{card}(G) = n$ . On conclut donc : $\boxed{\text{card}(\widehat{G}) = \text{card}(G)}$

Attention à ne pas oublier de justifier que $f(0_G) \neq 0$ . Si $f$ est un vecteur propre, il est non nul, mais il pourrait a priori s'annuler en $0_G$ . Le calcul $f(g) = \lambda_g f(0_G)$ montre que si $f(0_G)=0$ , alors $f$ est la fonction nulle.