Codiagonalisation et structure abélienne

On considère des sous-groupes finis du groupe linéaire $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ .

Soit $G$ $G$ un sous-groupe abélien fini de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ $GL_{n} (C)$ .
1. Démontrer qu'il existe une base de $\mathbb{C}^n$ dans laquelle toutes les matrices de $G$ sont diagonales.
2. En déduire l'existence de $n$ applications $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ de $G$ dans $\mathbb{C}^*$ telles que pour tout $g \in G$ : $g = P \mathrm{diag}(\lambda_1(g), \dots, \lambda_n(g)) P^{-1}$
Déterminer le plus grand entier $k$ tel que $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ contienne un sous-groupe isomorphe au groupe de Klein $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^k$ .
Soient $d_1, d_2, \dots, d_p$ des entiers supérieurs ou égaux à 2 tels que $d_1 | d_2 | \dots | d_p$ . Quel est le plus petit entier $n$ tel que $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ contienne un sous-groupe isomorphe à $\prod_{i=1}^p \mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z}$ ?
Soit $G$ un sous-groupe abélien fini de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ . On fait agir $G$ sur le corps des fonctions rationnelles $\mathbb{C}(X_1, \dots, X_n)$ par $g \cdot F = F \circ g$ . On définit l'ensemble des fonctions invariantes $\mathbb{C}(X_1, \dots, X_n)^G = \{ F \in \mathbb{C}(X) \mid \forall g \in G, g \cdot F = F \}$ . En utilisant les fonctions $\lambda_i$ , montrer qu'il existe $n$ fonctions rationnelles $T_1, \dots, T_n$ algébriquement indépendantes telles que $\mathbb{C}(X_1, \dots, X_n)^G = \mathbb{C}(T_1, \dots, T_n)$ .

1.

Pour la codiagonalisation, utiliser le fait que chaque $g \in G$ est d'ordre fini, donc diagonalisable sur $\mathbb{C}$ .

2.

Un sous-groupe de matrices diagonales est isomorphe à un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*)^n$ .

3.

Pour la question 3, utiliser la structure des groupes abéliens finis et le rang du groupe (nombre minimal de générateurs).

4.

Pour la question 4, se ramener par changement de base au cas où $G$ est formé de matrices diagonales. Les fonctions invariantes sont alors liées à un sous-groupe de $\mathbb{Z}^n$ .

Idées clés

•

Diagonalisabilité des éléments d'ordre fini sur $\mathbb{C}$ .

•

Morphisme vers $(\mathbb{C}^*)^n$ via la codiagonalisation.

•

Lien entre actions de groupes et invariants algébriques.

Résolution.

1. Soit $g \in G$ . Comme $G$ est fini, il existe $N \in \mathbb{N}^*$ tel que $g^N = I_n$ . Le polynôme $X^N-1$ , scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ , annule $g$ . Chaque $g$ est donc diagonalisable. Comme $G$ est abélien, tous ses éléments commutent. Par un résultat classique de cours, une famille d'endomorphismes diagonalisables qui commutent est simultanément diagonalisable. $\boxed{\exists P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}), \forall g \in G, P^{-1}gP \text{ est diagonale}}$
2. En notant $D(g) = P^{-1}gP$ , les coefficients diagonaux de $D(g)$ définissent $n$ applications $\lambda_i : G \to \mathbb{C}^*$ . Ces applications sont des caractères de $G$ car $D(gh) = D(g)D(h)$ implique $\lambda_i(gh) = \lambda_i(g)\lambda_i(h)$ .
D'après ce qui précède, tout sous-groupe fini abélien de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ est isomorphe à un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*)^n$ (le groupe des matrices diagonales inversibles). $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^k$ s'injecte dans $(\mathbb{C}^*)^n$ si et seulement si $k \leq n$ . En effet, le groupe des éléments d'ordre 2 de $(\mathbb{C}^*)^n$ est $(\{-1, 1\})^n$ , qui est isomorphe à $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ . $\boxed{k_{\max} = n}$
Le groupe $H = \prod_{i=1}^p \mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z}$ possède une famille génératrice minimale de $p$ éléments (son rang est $p$ ). Comme $H$ s'injecte dans $(\mathbb{C}^*)^n$ , et que tout sous-groupe fini de $(\mathbb{C}^*)^n$ est de rang au plus $n$ , on doit avoir $p \leq n$ . Réciproquement, si $n=p$ , on peut envoyer chaque générateur de $\mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z}$ sur la matrice $\mathrm{diag}(1, \dots, e^{2i\pi/d_i}, \dots, 1)$ . $\boxed{n_{\min} = p}$
Quitte à effectuer un changement de variables (changement de base de $E$ ), on suppose que les éléments de $G$ sont des matrices diagonales $g = \mathrm{diag}(\lambda_1(g), \dots, \lambda_n(g))$ . Un monôme $X^\alpha = X_1^{\alpha_1} \dots X_n^{\alpha_n}$ est invariant par $g$ si $\prod \lambda_i(g)^{\alpha_i} = 1$ . Soit $\Gamma = \{ \alpha \in \mathbb{Z}^n \mid \forall g \in G, \prod \lambda_i(g)^{\alpha_i} = 1 \}$ . C'est un sous-groupe de $\mathbb{Z}^n$ d'indice fini $|G|$ . D'après la théorie des réseaux (ou des groupes abéliens de type fini), $\Gamma$ est libre de rang $n$ . Soit $(\beta^{(1)}, \dots, \beta^{(n)})$ une base de $\Gamma$ . On pose $T_j = X^{\beta^{(j)}}$ . Ces fonctions sont invariantes et on montre qu'elles engendrent le corps des invariants. $\boxed{\mathbb{C}(X)^G = \mathbb{C}(T_1, \dots, T_n)}$

Dans la question 3, ne pas confondre le cardinal du groupe et son rang. Un groupe cyclique très grand (cardinal $10^{100}$ ) peut tenir dans $\mathrm{GL}_1(\mathbb{C})$ , alors qu'un petit groupe comme $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$ nécessite $n \geq 3$ .