Codiagonalisation d'un groupe fini commutatif

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On considère $G$ un sous-groupe fini du groupe linéaire $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})$ . On suppose que le groupe $G$ est commutatif, c'est-à-dire que pour tout $(M, N) \in G^2$ , on a $MN = NM$ .

Montrer qu'il existe une matrice de passage $P \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})$ telle que, pour tout élément $M$ de $G$ , la matrice $P^{-1} M P$ soit diagonale.

1.

Commencer par justifier que chaque matrice $M \in G$ est individuellement diagonalizable en utilisant le fait que $G$ est de cardinal fini.

2.

Utiliser le théorème de Lagrange ou la structure de groupe pour exhiber un polynôme annulateur simple.

3.

Procéder par récurrence sur la dimension $n$ de l'espace, en exploitant la stabilité des sous-espaces propres par des endomorphismes qui commutent.

Idées clés

•

Lien entre l'ordre d'un élément dans un groupe fini et son caractère diagonalizable.

•

Propriété de stabilité des sous-espaces propres par un endomorphisme qui commute.

•

Raisonnement par récurrence sur la dimension de l'espace.

Résolution.

Étape 1 : Diagonalisabilité individuelle des éléments de $G$ .

Soit $M \in G$ . Puisque $G$ est un groupe fini, notons $N = \text{card}(G)$ son ordre. D'après le théorème de Lagrange (ou simplement par structure de groupe fini), l'ordre de chaque élément divise $N$ .

On en déduit que :

M^N = I_n

Le polynôme $P(X) = X^N - 1$ est donc un polynôme annulateur de la matrice $M$ . Or, dans $\mathbb{C}[X]$ , les racines de $X^N - 1$ sont les racines $N$ -ièmes de l'unité.

Ces racines sont au nombre de $N$ et sont toutes distinctes. Le polynôme $P$ est donc scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ .

Comme $M$ admet un polynôme annulateur scindé à racines simples, on conclut :

\boxed{\forall M \in G, \text{

Étape 2 : Codiagonalisation par récurrence sur la dimension.

Notons $E = \mathbb{C}^n$ . On veut montrer qu'il existe une base de $E$ commune dans laquelle tous les endomorphismes associés aux matrices de $G$ sont diagonaux. Procédons par récurrence sur $n \geq 1$ .

Initialisation : Pour $n=1$ , le résultat est trivial car toute matrice est diagonale.

Hérédité : Supposons le résultat vrai pour tout espace de dimension strictement inférieure à $n$ . Considérons deux cas possibles pour les éléments de $G$ :

Premier cas : Tous les éléments de $G$ sont des homothéties. Dans ce cas, n'importe quelle base de $E$ convient, car toute matrice de $G$ est déjà diagonale (et même scalaire).

Second cas : Il existe au moins une matrice $M_0 \in G$ qui n'est pas une homothétie. Puisque $M_0$ est diagonalizable, l'espace $E$ est la somme directe de ses sous-espaces propres :

E = \bigoplus_{\lambda \in \text{sp}(M_0)} E_\lambda(M_0)

Comme $M_0$ n'est pas une homothétie, aucun sous-espace propre n'est égal à $E$ tout entier. On a donc :

\forall \lambda \in \text{sp}(M_0),   1 \leq \dim(E_\lambda(M_0)) < n

Soit $N$ une matrice quelconque de $G$ . Comme $G$ est commutatif, $N$ et $M_0$ commutent. Un résultat classique du cours stipule que tout endomorphisme qui commute avec un autre stabilise ses sous-espaces propres. Ainsi, chaque $E_\lambda(M_0)$ est stable par tous les éléments de $G$ .

Pour chaque $\lambda \in \text{sp}(M_0)$ , on peut considérer la famille de restrictions :

G_\lambda = \{ N_{|E_\lambda(M_0)} \mid N \in G \}

$G_\lambda$ est un sous-groupe commutatif fini de $\mathrm{GL}(E_\lambda(M_0))$ . Comme $\dim(E_\lambda(M_0)) < n$ , on peut appliquer l'hypothèse de récurrence.

Il existe donc, pour chaque $\lambda$ , une base $\mathcal{B}_\lambda$ de $E_\lambda(M_0)$ telle que toutes les restrictions soient diagonales. En concaténant ces bases, on obtient une base $\mathcal{B} = \bigcup \mathcal{B}_\lambda$ de $E$ .

Dans cette base, tout élément $N \in G$ est représenté par une matrice diagonale par blocs (chaque bloc étant lui-même diagonal). La matrice $N$ est donc diagonale dans cette base commune.

Conclusion :

\boxed{\exists P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}), \forall M \in G, P^{-1}MP \text{ est diagonale}}

Il ne suffit pas de dire que chaque matrice est diagonalizable. La commutativité est la clé pour assurer l'existence d'une base commune. Sans commutativité, on pourrait diagonaliser chaque matrice séparément, mais avec des matrices de passage $P$ différentes.