Sous-algèbres réduites de matrices

_n(\mathbb{C})$}

On considère une sous-algèbre $A$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ (ou de $\mathcal{L}(\mathbb{C}^N)$ ). On dit que $A$ est réduite si son seul élément nilpotent est la matrice nulle :

\forall M \in A,   (\exists k \in \mathbb{N}^*, \ M^k = 0) \implies M = 0

L'objectif de cet exercice est de montrer que les éléments de $A$ sont simultanément diagonalisables.

Soit $a \in A$ . Montrer que $a$ est diagonalisable.
Établir que l'algèbre $A$ est engendrée, en tant qu'espace vectoriel, par ses éléments idempotents (c'est-à-dire les éléments $e \in A$ vérifiant $e^2 = e$ ).
Soit $e \in A$ $e \in A$ un idempotent et $x \in A$ $x \in A$ .
1. En calculant $(ex - exe)^2$ et $(xe - exe)^2$ , montrer que $ex = exe = xe$ .
2. En déduire que $A$ est une algèbre commutative.
Conclure qu'il existe une base de $\mathbb{C}^n$ dans laquelle tous les éléments de $A$ sont représentés par des matrices diagonales.

1.

Pour la question 1, considérer le polynôme minimal de $a$ et introduire sa partie réduite (produit des facteurs linéaires sans multiplicité).

2.

Pour la question 2, utiliser les projecteurs spectraux de $a$ et montrer qu'ils s'expriment comme des polynômes en $a$ .

3.

Pour la question 3(a), utiliser le fait que $A$ est réduite : tout élément dont le carré est nul est lui-même nul.

4.

Pour la question 4, utiliser un résultat classique sur la réduction simultanée de familles d'endomorphismes qui commutent.

Idées clés

•

Lien entre absence de nilpotents et racines simples du polynôme minimal.

•

Utilisation des polynômes d'interpolation de Lagrange pour obtenir les projecteurs spectraux.

•

Caractérisation de la commutativité par l'étude des éléments de carré nul.

•

Théorème de codiagonalisation des familles commutantes d'endomorphismes diagonalisables.

Résolution.

Soit $a \in A$ . Puisque nous sommes sur $\mathbb{C}$ , son polynôme minimal $\pi_a$ est scindé. Notons $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ les valeurs propres distinctes de $a$ . On peut écrire : $\pi_a(X) = \prod_{i=1}^r (X - \lambda_i)^{m_i} \text{avec } m_i \geq 1$ Considérons le polynôme $P(X) = \prod_{i=1}^r (X - \lambda_i)$ . L'élément $b = P(a)$ appartient à $A$ car $A$ est une algèbre. En posant $m = \max(m_1, \dots, m_r)$ , on remarque que $b^m$ est un multiple de $\pi_a(a)$ , donc : $b^m = 0$ Par hypothèse, $A$ est réduite, donc son seul élément nilpotent est nul. On en déduit : $\boxed{ P(a) = \prod_{i=1}^r (a - \lambda_i I) = 0 }$ Le polynôme $P$ , qui est scindé à racines simples, annule $a$ . Par critère de diagonalisabilité : $\boxed{ a \text{ est diagonalisable} }$
Soit $a \in A$ . D'après la question précédente, $a$ est diagonalisable. Notons $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ ses valeurs propres distinctes et $p_1, \dots, p_r$ les projecteurs spectraux associés. On sait que $a = \sum_{i=1}^r \lambda_i p_i$ . Pour chaque $i \in \{1, \dots, r\}$ , il existe un polynôme d'interpolation de Lagrange $L_i$ tel que $L_i(\lambda_i) = 1$ et $L_i(\lambda_j) = 0$ pour $j \neq i$ . Alors, le projecteur spectral $p_i$ est donné par : $p_i = L_i(a)$ Comme $A$ est une sous-algèbre et que $a \in A$ , alors pour tout polynôme $Q \in \mathbb{C}[X]$ , $Q(a) \in A$ . Ainsi, $p_i \in A$ pour tout $i$ . Puisque tout élément $a$ de $A$ est combinaison linéaire de ses projecteurs spectraux (qui sont des idempotents de $A$ ), on conclut : $\boxed{ A = \text{Vect}\{e \in A \mid e^2 = e\} }$
1. Soit $e \in A$ un idempotent ( $e^2=e$ ) et $x \in A$ . Posons $u = ex - exe$ . Calculons $u^2$ : $u^2 = (ex - exe)(ex - exe) = exex - exexe - exex + exexe = 0$ Comme $u \in A$ (stabilité par produit et combinaison linéaire) et que $A$ est réduite : $\boxed{ ex - exe = 0 \implies ex = exe }$ De même, posons $v = xe - exe$ . Alors : $v^2 = (xe - exe)(xe - exe) = xexe - xexe - exexe + exexe = 0$ On en déduit par le même argument : $\boxed{ xe - exe = 0 \implies xe = exe }$ Finalement, on a bien $ex = exe = xe$ , ce qui prouve que $e$ et $x$ commutent.
2. Soient $a, b$ deux éléments de $A$ . D'après la question 2, $a$ peut s'écrire comme une combinaison linéaire d'idempotents : $a = \sum \alpha_i e_i$ . D'après la question 3(a), chaque $e_i$ commute avec n'importe quel élément de $A$ , donc en particulier avec $b$ . Par linéarité du produit : $ab = \left(\sum \alpha_i e_i\right) b = \sum \alpha_i (e_i b) = \sum \alpha_i (b e_i) = b \left(\sum \alpha_i e_i\right) = ba$ L'algèbre $A$ est donc commutative.
Les éléments de $A$ forment une famille d'endomorphismes de $\mathbb{C}^n$ qui sont tous diagonalisables (question 1) et qui commutent deux à deux (question 3). D'après le théorème de codiagonalisation, il existe une base commune de diagonalisation. Ainsi, il existe $P \in GL_n(\mathbb{C})$ telle que : $\boxed{ \forall M \in A, P^{-1}MP \in \mathcal{D}_n(\mathbb{C}) }$

Attention à ne pas oublier de justifier que les projecteurs spectraux appartiennent bien à l'algèbre $A$ . L'argument clé est qu'ils sont des polynômes en la matrice $a$ .